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integral of 1/(16x^4+8x^2+1)

Lösung

\int \frac{1}{16 x ^{4} + 8 x ^{2} + 1} d x

\frac{1}{4} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{16 x ^{4} + 8 x ^{2} + 1} d x

Faktorisiere

\frac{1}{16 x ^{4} + 8 x ^{2} + 1}

= \int \frac{1}{( 4 x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x)))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x))) : \frac{1}{4} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x)))

= \frac{1}{4} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x))) + C

\frac{\partial}{\partial x} (sin (k x))

t an g e n t y = 7 e^{- 6 x}, (0, 7)

\frac{d y}{d x} = 9 x - \frac{y}{x}

\frac{d}{d x} ((6 x - x^{2})^{\frac{1}{2}})

\int t cos (t) sin (t) d t