integral from 0 to a of sin((npix)/a)

解

\int_{0}^{a} sin (\frac{nπ x}{a}) d x

\frac{a ( - ( - 1 ) ^{n} + 1 )}{πn}

解答ステップ

\int_{0}^{a} sin (\frac{nπ x}{a}) d x

u置換積分法を適用する

= \int_{0}^{nπa} \frac{sin ( \frac{u}{a} )}{πn} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{πn} \cdot \int_{0}^{nπa} sin (\frac{u}{a}) d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{πn} \cdot \int_{0}^{πn} sin (v) a d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{πn} a \cdot \int_{0}^{πn} sin (v) d v

共通積分を使用する:

\int sin (v) d v = - cos (v)

= \frac{1}{πn} a [- cos (v)]_{0}^{πn}

限度を計算する:

- (- 1)^{n} + 1

= \frac{1}{πn} a (- (- 1)^{n} + 1)

簡素化

= \frac{a ( - ( - 1 ) ^{n} + 1 )}{πn}