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integral of 1/(sqrt(x(3x+5)))

Lösung

\int \frac{1}{x ( 3 x + 5 )} d x

\frac{1}{3} ln (\frac{36 x ^{2} + 60 x + 6 x + 5}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ( 3 x + 5 )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{3 u ( u - 5 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{u ( u - 5 )} d u

Vervollständige das Quadrat

u (u - 5) : (u - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4}

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{( u - \frac{5}{2} ) ^{2} - \frac{25}{4}} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{2}{4 v ^{2} - 25} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} - 25} d v

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \int \frac{sec ( w )}{2} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sec (w) d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (w) d w = ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{5} (3 x + 5 - \frac{5}{2}))) + sec (arcsec (\frac{2}{5} (3 x + 5 - \frac{5}{2})))

Vereinfache

\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{5} (3 x + 5 - \frac{5}{2}))) + sec (arcsec (\frac{2}{5} (3 x + 5 - \frac{5}{2}))) : \frac{1}{3} ln (\frac{36 x ^{2} + 60 x + 6 x + 5}{5})

= \frac{1}{3} ln (\frac{36 x ^{2} + 60 x + 6 x + 5}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} ln (\frac{36 x ^{2} + 60 x + 6 x + 5}{5}) + C

\int 2 tan (2 x) d x

\int \frac{( x ^{2} cos ( x ) - 2 x sin ( x ) )}{x ^{4}} d x

\int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{3} + x ^{2} - x - 1} d x

\int (- \frac{3}{x + 2} - \frac{4}{x + 5}) d x

\int \frac{1}{sin ^{2} ( 3 x )} + 3 d x