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integral of sin^5(3x)cos^2(3x)

解

\int sin^{5} (3 x) cos^{2} (3 x) d x

解

\frac{1}{3} (- \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3} + \frac{2 cos ^{5} ( 3 x )}{5} - \frac{cos ^{7} ( 3 x )}{7}) + C

解答ステップ

\int sin^{5} (3 x) cos^{2} (3 x) d x

u置換積分法を適用する

= \int sin^{5} (u) cos^{2} (u) \frac{1}{3} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sin^{5} (u) cos^{2} (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{2} sin (u) cos^{2} (u) d u

u置換積分法を適用する

= \frac{1}{3} \cdot \int - v^{2} (1 - v^{2})^{2} d v

拡張

- v^{2} (1 - v^{2})^{2} : - v^{2} + 2 v^{4} - v^{6}

= \frac{1}{3} \cdot \int - v^{2} + 2 v^{4} - v^{6} d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (- \int v^{2} d v + \int 2 v^{4} d v - \int v^{6} d v)

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

\int 2 v^{4} d v = \frac{2 v ^{5}}{5}

\int v^{6} d v = \frac{v ^{7}}{7}

= \frac{1}{3} (- \frac{v ^{3}}{3} + \frac{2 v ^{5}}{5} - \frac{v ^{7}}{7})

代用を戻す

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3} + \frac{2 cos ^{5} ( 3 x )}{5} - \frac{cos ^{7} ( 3 x )}{7})

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{3} ( 3 x )}{3} + \frac{2 cos ^{5} ( 3 x )}{5} - \frac{cos ^{7} ( 3 x )}{7}) + C

グラフ

人気の例

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