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人気のある微分積分 >

integral of (x+3)/(x^2+2x+5)

解

\int \frac{x + 3}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

解

\frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 1 + arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + C

解答ステップ

\int \frac{x + 3}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

平方完成する

x^{2} + 2 x + 5 : (x + 1)^{2} + 4

= \int \frac{x + 3}{( x + 1 ) ^{2} + 4} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u + 2}{u ^{2} + 4} d u

置換積分法を適用する

= \int \frac{v + 1}{v ^{2} + 1} d v

拡張

\frac{v + 1}{v ^{2} + 1} : \frac{v}{v ^{2} + 1} + \frac{1}{v ^{2} + 1}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{v}{v ^{2} + 1} d v + \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

\int \frac{v}{v ^{2} + 1} d v = \frac{1}{2} ln v^{2} + 1

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{2} ln v^{2} + 1 + arctan (v)

代用を戻す

= \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{2})^{2} + 1 + arctan (\frac{x + 1}{2})

簡素化

\frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{2})^{2} + 1 + arctan (\frac{x + 1}{2}) : \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 1 + arctan (\frac{1}{2} (x + 1))

= \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 1 + arctan (\frac{1}{2} (x + 1))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln \frac{1}{4} (x + 1)^{2} + 1 + arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + C

グラフ

人気の例

integral of 1/((x+7)(49x^2+7x+1))

\int \frac{1}{( x + 7 ) ( 49 x ^{2} + 7 x + 1 )} d x

integral of 1/(x(1+x^4))

\int \frac{1}{x ( 1 + x ^{4} )} d x

integral of 2^{1-2x}

\int 2^{1 - 2 x} d x

integral of sec^4(θ)tan^2(θ)

\int sec^{4} (θ) tan^{2} (θ) d θ

integral of x/((1+cos(x)))

\int \frac{x}{( 1 + cos ( x ) )} d x