integral of (2^{sqrt(x)})/(sqrt(x))

Lösung

\int \frac{2 ^{x}}{x} d x

\frac{2 \cdot 2 ^{x}}{ln ( 2 )} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2 ^{x}}{x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u}{ln ( 2 ) \cdot 2 ^{\frac{l n ( u ) - l n ( 2 )}{l n ( 2 )}}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{ln ( 2 )} \cdot \int \frac{u}{2 ^{\frac{l n ( u ) - l n ( 2 )}{l n ( 2 )}}} d u

Wende die partielle Integration an

= \frac{1}{ln ( 2 )} (\frac{u ^{2}}{2 ^{\frac{l n ( u )}{l n ( 2 )}}} - \int - 1 d u)

\int - 1 d u = - u

= \frac{1}{ln ( 2 )} (\frac{u ^{2}}{2 ^{\frac{l n ( u )}{l n ( 2 )}}} - (- u))

Setze in

u = 2^{x}

ein

= \frac{1}{ln ( 2 )} \frac{( 2 ^{x} ) ^{2}}{2 ^{\frac{l n ( 2 ^{x} )}{l n ( 2 )}}} - (- 2^{x})

Vereinfache

\frac{1}{ln ( 2 )} \frac{( 2 ^{x} ) ^{2}}{2 ^{\frac{l n ( 2 ^{x} )}{l n ( 2 )}}} - (- 2^{x}) : \frac{2 \cdot 2 ^{x}}{ln ( 2 )}

= \frac{2 \cdot 2 ^{x}}{ln ( 2 )}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2 \cdot 2 ^{x}}{ln ( 2 )} + C