integral of (y-2)/(y(y-4)(y+3))

解

\int \frac{y - 2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y

\frac{1}{14} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{5}{21} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ y ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{y - 2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y

拡張

\frac{y - 2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} : \frac{y}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} - \frac{2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{y}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y - \int \frac{2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y

\int \frac{y}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y = \frac{1}{7} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ y + 3 ∣

\int \frac{2}{y ( y - 4 ) ( y + 3 )} d y = 2 (\frac{1}{21} ln ∣ y + 3 ∣ - \frac{1}{12} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{28} ln ∣ y - 4 ∣)

= \frac{1}{7} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ y + 3 ∣ - 2 (\frac{1}{21} ln ∣ y + 3 ∣ - \frac{1}{12} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{28} ln ∣ y - 4 ∣)

簡素化

\frac{1}{7} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{1}{7} ln ∣ y + 3 ∣ - 2 (\frac{1}{21} ln ∣ y + 3 ∣ - \frac{1}{12} ln ∣ y ∣ + \frac{1}{28} ln ∣ y - 4 ∣) : \frac{1}{14} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{5}{21} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ y ∣

= \frac{1}{14} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{5}{21} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ y ∣

定数を解答に追加する

= \frac{1}{14} ln ∣ y - 4 ∣ - \frac{5}{21} ln ∣ y + 3 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ y ∣ + C