интеграл от tan^2(3x)sec^2(3x)

Решение

\int tan^{2} (3 x) sec^{2} (3 x) d x

\frac{1}{9} tan^{3} (3 x) + C

Шаги решения

\int tan^{2} (3 x) sec^{2} (3 x) d x

Применить подстановку интеграла

= \int tan^{2} (u) sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int tan^{2} (u) sec^{2} (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 + tan^{2} (u)) tan^{2} (u) d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{3} \cdot \int v^{2} d v

Применить правило показателя степени

= \frac{1}{3} \cdot \frac{v ^{3}}{3}

Делаем обратную замену

= \frac{1}{3} \cdot \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{3}

Упростите

\frac{1}{3} \cdot \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{3} : \frac{1}{9} tan^{3} (3 x)

= \frac{1}{9} tan^{3} (3 x)

Добавить константу к решению

= \frac{1}{9} tan^{3} (3 x) + C