integral of 1/(z^3sqrt(z^2-81))

Lösung

\int \frac{1}{z ^{3} z ^{2} - 81} d z

\frac{1}{1458} (arcsec (\frac{1}{9} z) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{1}{9} z))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{z ^{3} z ^{2} - 81} d z

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{729 sec ^{2} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{729} \cdot \int \frac{1}{sec ^{2} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{729} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{729} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{729} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{729} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsec (\frac{1}{9} z)

ein

= \frac{1}{729} \cdot \frac{1}{2} (arcsec (\frac{1}{9} z) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{1}{9} z)))

Vereinfache

\frac{1}{729} \cdot \frac{1}{2} (arcsec (\frac{1}{9} z) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{1}{9} z))) : \frac{1}{1458} (arcsec (\frac{1}{9} z) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{1}{9} z)))

= \frac{1}{1458} (arcsec (\frac{1}{9} z) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{1}{9} z)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{1458} (arcsec (\frac{1}{9} z) + \frac{1}{2} sin (2 arcsec (\frac{1}{9} z))) + C

\frac{\partial}{\partial x} (6 y^{8} x^{5} - 5 y^{7} x^{4})

\int \frac{( x + 2 )}{x ^{2} + 4} d x

\int \frac{1}{3 cos ( u ) - 5 - 4 sin ( u )} d u

\frac{d}{d x} (4 x y)

\frac{d}{d x} (x^{4 π})