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人気のある微分積分 >

integral of (x^3)/((x+1)^2)

解

\int \frac{x ^{3}}{( x + 1 ) ^{2}} d x

解

\frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1} + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{3}}{( x + 1 ) ^{2}} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{( u - 1 ) ^{3}}{u ^{2}} d u

拡張

\frac{( u - 1 ) ^{3}}{u ^{2}} : u - 3 + \frac{3}{u} - \frac{1}{u ^{2}}

= \int u - 3 + \frac{3}{u} - \frac{1}{u ^{2}} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int u d u - \int 3 d u + \int \frac{3}{u} d u - \int \frac{1}{u ^{2}} d u

\int u d u = \frac{u ^{2}}{2}

\int 3 d u = 3 u

\int \frac{3}{u} d u = 3 ln ∣ u ∣

\int \frac{1}{u ^{2}} d u = - \frac{1}{u}

= \frac{u ^{2}}{2} - 3 u + 3 ln ∣ u ∣ - (- \frac{1}{u})

代用を戻す

u = x + 1

= \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ - (- \frac{1}{x + 1})

簡素化

\frac{( x + 1 ) ^{2}}{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ - (- \frac{1}{x + 1}) : \frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1}

= \frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (x + 1)^{2} - 3 (x + 1) + 3 ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{x + 1} + C

グラフ

人気の例

derivative of A(e^{-2x}-2e^{-2x}x)

\frac{d}{d x} (A (e^{- 2 x} - 2 e^{- 2 x} x))

integral of e^{2x+4}-6x

\int e^{2 x + 4} - 6 x d x

x^2(dy)/(dx)=(5x^2-x-3)/((x+1)(y+1))

x^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{5 x ^{2} - x - 3}{( x + 1 ) ( y + 1 )}

integral of 9x^8e^{4x^9}

\int 9 x^{8} e^{4 x^{9}} d x

(\partial)/(\partial x)(x^2ln(3y-5))

\frac{\partial}{\partial x} (x^{2} ln (3 y - 5))