интеграл от (tan^3(ln(x)))/(8x)

Решение

\int \frac{tan ^{3} ( ln ( x ) )}{8 x} d x

\frac{1}{8} (- ln ∣ sec (ln (x)) ∣ + \frac{sec ^{2} ( ln ( x ) )}{2}) + C

Шаги решения

\int \frac{tan ^{3} ( ln ( x ) )}{8 x} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{tan ^{3} ( ln ( x ) )}{x} d x

Применить подстановку интеграла

: \int tan^{3} (u) d u

= \frac{1}{8} \cdot \int tan^{3} (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{8} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) tan (u) d u

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{- 1 + v ^{2}}{v} d v

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{- 1 + v ^{2}}{v} d v

Расширить

\frac{- 1 + v ^{2}}{v} : - \frac{1}{v} + v

= \frac{1}{8} \cdot \int - \frac{1}{v} + v d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{8} (- \int \frac{1}{v} d v + \int v d v)

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int v d v = \frac{v ^{2}}{2}

= \frac{1}{8} (- ln ∣ v ∣ + \frac{v ^{2}}{2})

Делаем обратную замену

= \frac{1}{8} (- ln ∣ sec (ln (x)) ∣ + \frac{sec ^{2} ( ln ( x ) )}{2})

Добавить константу к решению

= \frac{1}{8} (- ln ∣ sec (ln (x)) ∣ + \frac{sec ^{2} ( ln ( x ) )}{2}) + C