integral of 1/((25+x^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 25 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{25 ( 25 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 25 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{25 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{25} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{25} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{25} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{5} x)

ein

= \frac{1}{25} sin (arctan (\frac{1}{5} x))

Vereinfache

\frac{1}{25} sin (arctan (\frac{1}{5} x)) : \frac{x}{25 ( 25 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{25 ( 25 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{25 ( 25 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{u - 1}{u + 1} d u

\int (\frac{1}{3 x} + 1)^{2} d x

y^{^{'}} = x y

x \to 5 lim (\frac{x π}{3})

\frac{1}{x ^{2}} d x = e^{- 2 t} d t