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integral of (x^4)/(sqrt(3-x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{4}}{3 - x ^{2}} d x

Lösung

9 (- \frac{1}{36} x^{3} 3 - x^{2} + \frac{3}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{4}}{3 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 9 sin^{4} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 9 \cdot \int sin^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= 9 (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \int sin^{2} (u) d u)

\int sin^{2} (u) d u = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= 9 (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{3} x)

ein

= 9 - \frac{cos ( arcsin ( \frac{1}{3} x ) ) sin ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{3} x ) )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))

Vereinfache

9 - \frac{cos ( arcsin ( \frac{1}{3} x ) ) sin ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{3} x ) )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))) : 9 (- \frac{1}{36} x^{3} 3 - x^{2} + \frac{3}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))))

= 9 (- \frac{1}{36} x^{3} 3 - x^{2} + \frac{3}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 9 (- \frac{1}{36} x^{3} 3 - x^{2} + \frac{3}{8} (arcsin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{3} x)))) + C

Graph

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