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受欢迎的三角函数 >

sin((7pi)/(20))

解答

sin (\frac{7 π}{20})

解答

\frac{2 4 + 2 5 - 5}{4}

+1

十进制

0.89100 \dots

求解步骤

sin (\frac{7 π}{20})

使用三角恒等式改写:

\frac{1 - cos ( \frac{7 π}{10} )}{2}

sin (\frac{7 π}{20})

将

sin (\frac{7 π}{20})

写为

sin (\frac{\frac{7 π}{10}}{2})

= sin (\frac{\frac{7 π}{10}}{2})

使用半角公式:

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{2}

使用倍角公式

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

用

\frac{θ}{2}

替代

θ

cos (θ) = 1 - 2 sin^{2} (\frac{θ}{2})

交换两边

2 sin^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 - cos (θ)

两边除以

2

sin^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

:

range [0, \frac{π}{2}] [\frac{π}{2}, π] [π, \frac{3 π}{2}] [\frac{3 π}{2}, 2 π] quadrant I II III I V sin positive positive negative negative cos positive negative negative positive

sin (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 - cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{7 π}{10} )}{2}

= \frac{1 - cos ( \frac{7 π}{10} )}{2}

使用三角恒等式改写:

cos (\frac{7 π}{10}) = - \frac{2 5 - 5}{4}

cos (\frac{7 π}{10})

使用三角恒等式改写:

- sin (\frac{π}{5})

cos (\frac{7 π}{10})

利用以下特性:

cos (x) = sin (\frac{π}{2} - x)

= sin (\frac{π}{2} - \frac{7 π}{10})

化简:

\frac{π}{2} - \frac{7 π}{10} = - \frac{π}{5}

\frac{π}{2} - \frac{7 π}{10}

2, 10

的最小公倍数:

10

2, 10

最小公倍数 (LCM)

2

质因数分解:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

10

质因数分解:

2 \cdot 5

10

10

除以

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 5

2, 5

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 5

将每个因子乘以它在

2

或

10

中出现的最多次数

= 2 \cdot 5

数字相乘:

2 \cdot 5 = 10

= 10

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

10

对于

\frac{π}{2} :

将分母和分子乘以

5

\frac{π}{2} = \frac{π 5}{2 \cdot 5} = \frac{π 5}{10}

= \frac{π 5}{10} - \frac{7 π}{10}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 5 - 7 π}{10}

同类项相加:

5 π - 7 π = - 2 π

= \frac{- 2 π}{10}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 π}{10}

约分:

2

= - \frac{π}{5}

= sin (- \frac{π}{5})

利用以下特性:

sin (- x) = - sin (x)

sin (- \frac{π}{5}) = - sin (\frac{π}{5})

= - sin (\frac{π}{5})

= - sin (\frac{π}{5})

使用三角恒等式改写:

sin (\frac{π}{5}) = \frac{2 5 - 5}{4}

sin (\frac{π}{5})

显示:

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

使用以下积化和差公式:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

显示:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

使用倍角公式:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

两边除以

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

利用以下特性:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

两边除以

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

两边除以

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

代入

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

\frac{1}{2} = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

sin (\frac{3 π}{10}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})

显示:

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

使用因式分解法则:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})))

整理后得

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 2 (2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}))

显示:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

使用倍角公式:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

两边除以

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

利用以下特性:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

两边除以

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

两边除以

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

代入

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 1

代入

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

整理后得

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

两边加上

\frac{1}{4}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

整理后得

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} = \frac{5}{4}

在两侧开平方

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \pm \frac{5}{4}

cos (\frac{π}{5})

不能为负

sin (\frac{π}{10})

不能为负

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

以下方程式相加

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{2}

((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

整理后得

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

两边进行平方

(cos (\frac{π}{5}))^{2} = (\frac{5 + 1}{4})^{2}

利用以下特性:

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

sin^{2} (\frac{π}{5}) = 1 - cos^{2} (\frac{π}{5})

代入

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

sin^{2} (\frac{π}{5}) = 1 - (\frac{5 + 1}{4})^{2}

整理后得

sin^{2} (\frac{π}{5}) = \frac{5 - 5}{8}

在两侧开平方

sin (\frac{π}{5}) = \pm \frac{5 - 5}{8}

sin (\frac{π}{5})

不能为负

sin (\frac{π}{5}) = \frac{5 - 5}{8}

整理后得

sin (\frac{π}{5}) = \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

= \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

\frac{\frac{5 - 5}{2}}{2} = \frac{2 5 - 5}{4}

\frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

\frac{5 - 5}{2} = \frac{5 - 5}{2}

\frac{5 - 5}{2}

使用根式运算法则:

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 - 5}{2}

= \frac{\frac{5 - 5}{2}}{2}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 - 5}{2 \cdot 2}

\frac{5 - 5}{2 2}

有理化:

\frac{2 5 - 5}{4}

\frac{5 - 5}{2 2}

乘以共轭根式

\frac{2}{2}

= \frac{5 - 5 2}{2 \cdot 2 2}

2 \cdot 22 = 4

2 \cdot 22

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

同类项相加:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

约分:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{2 5 - 5}{4}

= - \frac{2 5 - 5}{4}

= \frac{1 - ( - \frac{2 5 - 5}{4} )}{2}

化简

\frac{1 - ( - \frac{2 5 - 5}{4} )}{2} : \frac{2 4 + 2 5 - 5}{4}

\frac{1 - ( - \frac{2 5 - 5}{4} )}{2}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{1 + \frac{2 5 - 5}{4}}{2}

\frac{1 + \frac{2 5 - 5}{4}}{2} = \frac{4 + 2 5 - 5}{8}

\frac{1 + \frac{2 5 - 5}{4}}{2}

化简

1 + \frac{2 5 - 5}{4} : \frac{4 + 2 5 - 5}{4}

1 + \frac{2 5 - 5}{4}

将项转换为分式:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} + \frac{2 5 - 5}{4}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 + 2 5 - 5}{4}

数字相乘:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4 + 2 5 - 5}{4}

= \frac{\frac{4 + 2 5 - 5}{4}}{2}

使用分式法则:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 + 2 5 - 5}{4 \cdot 2}

数字相乘:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{4 + 2 5 - 5}{8}

= \frac{4 + 2 5 - 5}{8}

使用根式运算法则:

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{4 + 2 5 - 5}{8}

8 = 22

8

8

质因数分解:

2^{3}

8

8

除以

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

除以

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

使用根式运算法则:

= 2 2^{2}

使用根式运算法则:

2^{2} = 2

= 22

= \frac{2 5 - 5 + 4}{2 2}

\frac{4 + 2 5 - 5}{2 2}

有理化:

\frac{2 2 5 - 5 + 4}{4}

\frac{4 + 2 5 - 5}{2 2}

乘以共轭根式

\frac{2}{2}

= \frac{4 + 2 5 - 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

同类项相加:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

约分:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 4 + 2 5 - 5}{4}

= \frac{2 2 5 - 5 + 4}{4}

= \frac{2 4 + 2 5 - 5}{4}

流行的例子

tan(arccos(-5/6))

0.04picos(pi*1-pi*2/6)

sin(67.5)sin(22.5)