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人気のある三角関数 >

(8.2)/(sin(72))

解

\frac{8.2}{sin ( 7 2 ^{\circ} )}

解

\frac{41 2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{50}

+1

十進法表記

8.62199 \dots

解答ステップ

\frac{8.2}{sin ( 7 2 ^{\circ} )}

= \frac{\frac{41}{5}}{sin ( 7 2 ^{\circ} )}

三角関数の公式を使用して書き換える:

sin (7 2^{\circ}) = \frac{2 5 + 5}{4}

sin (7 2^{\circ})

三角関数の公式を使用して書き換える:

cos (1 8^{\circ})

sin (7 2^{\circ})

次の恒等を使用する:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

= cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

簡素化

= cos (1 8^{\circ})

= cos (1 8^{\circ})

三角関数の公式を使用して書き換える:

\frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ})

を以下として書く:

cos (\frac{3 6 ^{\circ}}{2})

= cos (\frac{3 6 ^{\circ}}{2})

半角の公式を使用:

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{1 + cos ( θ )}{2}

2倍角の公式を使用

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

θ

を以下で代用:

\frac{θ}{2}

cos (θ) = 2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) - 1

辺を交換する

2 cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1 + cos (θ)

以下で両辺を割る

2

cos^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

両側で平方根

次の四分円に従って根号を選びます:

\frac{θ}{2}

:

範囲 [0, 9 0^{\circ}] [9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}] [18 0^{\circ}, 27 0^{\circ}] [27 0^{\circ}, 36 0^{\circ}] 四分円 I II III I V sin 正 正 負 負 cos 負 負 負 正

cos (\frac{θ}{2}) = \frac{( 1 + cos ( θ ) )}{2}

= \frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

= \frac{1 + cos ( 3 6 ^{\circ} )}{2}

三角関数の公式を使用して書き換える:

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (3 6^{\circ})

以下を証明する:

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

加法定理に次の積を使用する:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

以下を証明する:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

以下で両辺を割る

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

次の恒等を使用する:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

以下で両辺を割る

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

以下で両辺を割る

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

代用

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

\frac{1}{2} = sin (5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

sin (5 4^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (9 0^{\circ} - 5 4^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

\frac{1}{2} = cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})

以下を証明する:

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

因数分解の規則を使用する:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) ((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ})))

改良

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 2 (2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}))

以下を証明する:

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (7 2^{\circ}) = 2 sin (3 6^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) sin (3 6^{\circ}) = 4 sin (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

以下で両辺を割る

sin (3 6^{\circ})

sin (7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

次の恒等を使用する:

sin (x) = cos (9 0^{\circ} - x)

sin (7 2^{\circ}) = cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ})

cos (9 0^{\circ} - 7 2^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

cos (1 8^{\circ}) = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ}) cos (1 8^{\circ})

以下で両辺を割る

cos (1 8^{\circ})

1 = 4 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

以下で両辺を割る

2

\frac{1}{2} = 2 sin (1 8^{\circ}) cos (3 6^{\circ})

代用

2 cos (3 6^{\circ}) sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))^{2} = 1

代用

cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}) = \frac{1}{2}

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

改良

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

両辺に

\frac{1}{4}

を足す

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

改良

(cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}))^{2} = \frac{5}{4}

用側の平方根を取得する

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \pm \frac{5}{4}

cos (3 6^{\circ})

負の数にはできない

sin (1 8^{\circ})

負の数にはできない

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{4}

次のequationを追加する

cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ}) = \frac{5}{2}

((cos (3 6^{\circ}) + sin (1 8^{\circ})) + (cos (3 6^{\circ}) - sin (1 8^{\circ}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

改良

cos (3 6^{\circ}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= \frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

簡素化

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2} = \frac{5 + 5}{8}

\frac{1 + \frac{5 + 1}{4}}{2}

結合

1 + \frac{5 + 1}{4} : \frac{5 + 5}{4}

1 + \frac{5 + 1}{4}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} + \frac{5 + 1}{4}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 + 5 + 1}{4}

1 \cdot 4 + 5 + 1 = 5 + 5

1 \cdot 4 + 5 + 1

数を乗じる:

1 \cdot 4 = 4

= 4 + 5 + 1

数を足す:

4 + 1 = 5

= 5 + 5

= \frac{5 + 5}{4}

= \frac{\frac{5 + 5}{4}}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 + 5}{4 \cdot 2}

数を乗じる:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{5 + 5}{8}

= \frac{5 + 5}{8}

累乗根の規則を適用する:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{5 + 5}{8}

8 = 22

8

以下の素因数分解:

8 : 2^{3}

8

828 = 4 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 4

424 = 2 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

は素数なので, さらに因数分解はできない

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

累乗根の規則を適用する:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

= \frac{5 + 5}{2 2}

有理化する

\frac{5 + 5}{2 2} : \frac{2 5 + 5}{4}

\frac{5 + 5}{2 2}

共役で乗じる

\frac{2}{2}

= \frac{5 + 5 2}{2 2 2}

222 = 4

222

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

222 = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

類似した元を足す:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= 2^{1 + 2 \cdot \frac{1}{2}}

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

2 \cdot \frac{1}{2}

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= 1

= 2^{1 + 1}

数を足す:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{2 5 + 5}{4}

= \frac{\frac{41}{5}}{\frac{2 5 + 5}{4}}

簡素化

\frac{\frac{41}{5}}{\frac{2 5 + 5}{4}} : \frac{41 2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{50}

\frac{\frac{41}{5}}{\frac{2 5 + 5}{4}}

分数を割る:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{41 \cdot 4}{5 2 5 + 5}

数を乗じる:

41 \cdot 4 = 164

= \frac{164}{5 2 5 + 5}

因数

164 : 2^{2} \cdot 41

因数

164 = 2^{2} \cdot 41

= \frac{2 ^{2} \cdot 41}{5 2 5 + 5}

キャンセル

\frac{2 ^{2} \cdot 41}{5 2 5 + 5} : \frac{41 \cdot 2 ^{\frac{3}{2}}}{5 5 + 5}

\frac{2 ^{2} \cdot 41}{5 2 5 + 5}

累乗根の規則を適用する:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 ^{2} \cdot 41}{5 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}} 5 + 5}

指数の規則を適用する:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{2}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{2 - \frac{1}{2}}

= \frac{41 \cdot 2 ^{- \frac{1}{2} + 2}}{5 5 + 5}

数を引く:

2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

= \frac{41 \cdot 2 ^{\frac{3}{2}}}{5 5 + 5}

= \frac{41 \cdot 2 ^{\frac{3}{2}}}{5 5 + 5}

2^{\frac{3}{2}} = 22

2^{\frac{3}{2}}

2^{\frac{3}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}}

= 2^{1 + \frac{1}{2}}

指数の規則を適用する:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

改良

= 22

= \frac{41 \cdot 2 2}{5 5 + 5}

数を乗じる:

41 \cdot 2 = 82

= \frac{82 2}{5 5 + 5}

有理化する

\frac{82 2}{5 5 + 5} : \frac{41 2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{50}

\frac{82 2}{5 5 + 5}

共役で乗じる

\frac{5 + 5}{5 + 5}

= \frac{82 2 5 + 5}{5 5 + 5 5 + 5}

5 5 + 5 5 + 5 = 25 + 5^{\frac{3}{2}}

5 5 + 5 5 + 5

累乗根の規則を適用する:

a a = a

5 + 5 5 + 5 = 5 + 5

= 5 (5 + 5)

分配法則を適用する:

a (b + c) = ab + a c

a = 5, b = 5, c = 5

= 5 \cdot 5 + 55

簡素化

5 \cdot 5 + 55 : 25 + 5^{\frac{3}{2}}

5 \cdot 5 + 55

5 \cdot 5 = 25

5 \cdot 5

数を乗じる:

5 \cdot 5 = 25

= 25

55 = 5^{\frac{3}{2}}

55

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

55 = 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}}

= 5^{1 + \frac{1}{2}}

結合

1 + \frac{1}{2} : \frac{3}{2}

1 + \frac{1}{2}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 1}{2}

1 \cdot 2 + 1 = 3

1 \cdot 2 + 1

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= 2 + 1

数を足す:

2 + 1 = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= 5^{\frac{3}{2}}

= 25 + 5^{\frac{3}{2}}

= 25 + 5^{\frac{3}{2}}

= \frac{82 2 5 + 5}{25 + 5 ^{\frac{3}{2}}}

5^{\frac{3}{2}} = 55

5^{\frac{3}{2}}

5^{\frac{3}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}}

= 5^{1 + \frac{1}{2}}

指数の規則を適用する:

x^{a + b} = x^{a} x^{b}

= 5^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}}

改良

= 55

= \frac{82 2 5 + 5}{25 + 5 5}

共役で乗じる

\frac{25 - 5 5}{25 - 5 5}

= \frac{82 2 5 + 5 ( 25 - 5 5 )}{( 25 + 5 5 ) ( 25 - 5 5 )}

(25 + 55) (25 - 55) = 500

(25 + 55) (25 - 55)

55 = 5^{\frac{3}{2}}

55

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

55 = 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}}

= 5^{1 + \frac{1}{2}}

結合

1 + \frac{1}{2} : \frac{3}{2}

1 + \frac{1}{2}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 1}{2}

1 \cdot 2 + 1 = 3

1 \cdot 2 + 1

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= 2 + 1

数を足す:

2 + 1 = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= 5^{\frac{3}{2}}

= (25 + 5^{\frac{3}{2}}) (25 - 55)

55 = 5^{\frac{3}{2}}

55

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

55 = 5 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}}

= 5^{1 + \frac{1}{2}}

結合

1 + \frac{1}{2} : \frac{3}{2}

1 + \frac{1}{2}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 1}{2}

1 \cdot 2 + 1 = 3

1 \cdot 2 + 1

数を乗じる:

1 \cdot 2 = 2

= 2 + 1

数を足す:

2 + 1 = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= 5^{\frac{3}{2}}

= (25 + 5^{\frac{3}{2}}) (25 - 5^{\frac{3}{2}})

2乗の差の公式を適用する:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 25, b = 5^{\frac{3}{2}}

= 2 5^{2} - (5^{\frac{3}{2}})^{2}

簡素化

2 5^{2} - (5^{\frac{3}{2}})^{2} : 500

2 5^{2} - (5^{\frac{3}{2}})^{2}

2 5^{2} = 625

2 5^{2}

2 5^{2} = 625

= 625

(5^{\frac{3}{2}})^{2} = 125

(5^{\frac{3}{2}})^{2}

指数の規則を適用する:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 5^{\frac{3}{2} \cdot 2}

\frac{3}{2} \cdot 2 = 3

\frac{3}{2} \cdot 2

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= 3

= 5^{3}

5^{3} = 125

= 125

= 625 - 125

数を引く:

625 - 125 = 500

= 500

= 500

= \frac{82 2 ( 25 - 5 5 ) 5 + 5}{500}

共通因数を約分する:

2

= \frac{41 2 ( 25 - 5 5 ) 5 + 5}{250}

因数

412 (25 - 55) 5 + 5 : 2052 (5 - 5) 5 + 5

412 (25 - 55) 5 + 5

因数

25 - 55 : 5 (5 - 5)

25 - 55

書き換え

= 5 \cdot 5 - 55

共通項をくくり出す

5

= 5 (5 - 5)

= 412 \cdot 5 (5 - 5) 5 + 5

改良

= 2052 (5 - 5) 5 + 5

= \frac{205 2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{250}

共通因数を約分する:

5

= \frac{41 2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{50}

= \frac{41 2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{50}

= \frac{41 2 ( 5 - 5 ) 5 + 5}{50}

人気の例

sin (3 \cdot \frac{π}{3})

\frac{1}{sin ( 5 0 ^{\circ} )}

(2tan(22.5))/(1-tan^2(22.5))

\frac{2 tan ( 22. 5 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 22. 5 ^{\circ} )}

arctan (\frac{14}{12})

cos^{2} (- 6 0^{\circ})