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Beliebt Trigonometrie >

(tan(22.5))/(1-tan^2(22.5))

Lösung

\frac{tan ( 22. 5 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 22. 5 ^{\circ} )}

Lösung

\frac{1}{2}

Dezimale

0.5

Schritte zur Lösung

\frac{tan ( 22. 5 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 22. 5 ^{\circ} )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (22. 5^{\circ}) = 3 - 22

tan (22. 5^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{1 - cos ( 4 5 ^{\circ} )}{1 + cos ( 4 5 ^{\circ} )}

tan (22. 5^{\circ})

Schreibe

tan (22. 5^{\circ})

als

tan (\frac{4 5 ^{\circ}}{2})

= tan (\frac{4 5 ^{\circ}}{2})

Verwende die Halbwinkel Identität:

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Verwende die folgenden Identitäten

tan (θ) = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Quadriere beide Seiten

tan^{2} (θ) = \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Tausche die Seiten

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Tausche die Seiten

2 cos^{2} (θ) - 1 = cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 + cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

cos^{2} (θ) = \frac{1 + cos ( 2 θ )}{2}

tan^{2} (θ) = \frac{\frac{1 - c o s ( 2 θ )}{2}}{\frac{1 + c o s ( 2 θ )}{2}}

Vereinfache

tan^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{1 + cos ( 2 θ )}

Ersetze

θ

mit

\frac{θ}{2}

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}{1 + cos ( 2 \cdot \frac{θ}{2} )}

Vereinfache

tan^{2} (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Square root both sides

Choose the root sign according to the quadrant of

\frac{θ}{2}

range [0, 9 0^{\circ}] [9 0^{\circ}, 18 0^{\circ}] quadrant I II tan positive negative

tan (\frac{θ}{2}) = \frac{1 - cos ( θ )}{1 + cos ( θ )}

= \frac{1 - cos ( 4 5 ^{\circ} )}{1 + cos ( 4 5 ^{\circ} )}

= \frac{1 - cos ( 4 5 ^{\circ} )}{1 + cos ( 4 5 ^{\circ} )}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

Vereinfache

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}} : 3 - 22

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}} = \frac{2 - 1}{2 + 1}

\frac{1 - \frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}}

Füge

1 + \frac{2}{2}

zusammen:

\frac{2 + 2}{2}

1 + \frac{2}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 + 2}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 + 2}{2}

= \frac{1 - \frac{2}{2}}{\frac{2 + 2}{2}}

Füge

1 - \frac{2}{2}

zusammen:

\frac{2 - 2}{2}

1 - \frac{2}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 - 2}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 - 2}{2}

= \frac{\frac{2 - 2}{2}}{\frac{2 + 2}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 - 2 ) \cdot 2}{2 ( 2 + 2 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 - 2}{2 + 2}

Faktorisiere

2 - 2 : 2 (2 - 1)

2 - 2

2 = 22

= 22 - 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 + 2}

Faktorisiere

2 + 2 : 2 (2 + 1)

2 + 2

2 = 22

= 22 + 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2 ( 2 + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 - 1}{2 + 1}

= \frac{2 - 1}{2 + 1}

\frac{2 - 1}{2 + 1} = 3 - 22

\frac{2 - 1}{2 + 1}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 - 1}{2 - 1}

= \frac{( 2 - 1 ) ( 2 - 1 )}{( 2 + 1 ) ( 2 - 1 )}

(2 - 1) (2 - 1) = 3 - 22

(2 - 1) (2 - 1)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(2 - 1) (2 - 1) = (2 - 1)^{1 + 1}

= (2 - 1)^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= (2 - 1)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Vereinfache

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2} : 3 - 22

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= 2 - 22 + 1

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 3 - 22

= 3 - 22

(2 + 1) (2 - 1) = 1

(2 + 1) (2 - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 2, b = 1

= (2)^{2} - 1^{2}

Vereinfache

(2)^{2} - 1^{2} : 1

(2)^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (2)^{2} - 1

(2)^{2} = 2

(2)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= 1

= 1

= \frac{3 - 2 2}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= 3 - 22

= 3 - 22

= 3 - 22

= \frac{3 - 2 2}{1 - ( 3 - 2 2 ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{3 - 2 2}{1 - ( 3 - 2 2 ) ^{2}} : \frac{1}{2}

\frac{3 - 2 2}{1 - ( 3 - 2 2 ) ^{2}}

(3 - 22)^{2} = 3 - 22

(3 - 22)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((3 - 22)^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (3 - 22)^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3 - 22

= \frac{3 - 2 2}{1 - ( 3 - 2 2 )}

3 - 22 = 2 - 1

3 - 22

= 2 - 22 + 1

= (2)^{2} - 22 + (1)^{2}

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

= (2)^{2} - 22 + 1^{2}

22 \cdot 1 = 22

22 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 22

= (2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(2)^{2} - 22 \cdot 1 + 1^{2} = (2 - 1)^{2}

= (2 - 1)^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

(2 - 1)^{2} = 2 - 1

= 2 - 1

= \frac{2 - 1}{1 - ( 3 - 2 2 )}

Multipliziere aus

1 - (3 - 22) : 22 - 2

1 - (3 - 22)

- (3 - 22) : - 3 + 22

- (3 - 22)

Setze Klammern

= - (3) - (- 22)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 3 + 22

= 1 - 3 + 22

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= 22 - 2

= \frac{2 - 1}{2 2 - 2}

Faktorisiere

22 - 2 : 2 (2 - 1)

22 - 2

Schreibe um

= 22 - 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 - 1}{2 ( 2 - 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2 - 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

Beliebte Beispiele

arctan(-0)

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cos^2(pi/7)-sin^2(pi/7)

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