English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

2cos(3x)=1+cos(x)

Решение

2 cos (3 x) = 1 + cos (x)

Решение

x = 2 πn, x = 1.71777 \dots + 2 πn, x = - 1.71777 \dots + 2 πn, x = 2.59356 \dots + 2 πn, x = - 2.59356 \dots + 2 πn

Градусы

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 98.42105 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 98.42105 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 148.60028 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 148.60028 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

2 cos (3 x) = 1 + cos (x)

Вычтите

1 + cos (x)

с обеих сторон

2 cos (3 x) - 1 - cos (x) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

- 1 - cos (x) + 2 cos (3 x)

cos (3 x) = 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

cos (3 x)

Перепишите используя тригонометрические тождества

cos (3 x)

Перепишите как

= cos (2 x + x)

Используйте тождество суммы углов:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 x) cos (x) - sin (2 x) sin (x)

Используйте тождество двойного угла:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

Упростить

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x) : cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

cos (2 x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x) sin (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Добавьте числа:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

= cos (x) cos (2 x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Используйте тождество двойного угла:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 sin^{2} (x) cos (x)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Расширить

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

(2 cos^{2} (x) - 1) cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

= cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) - 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Расширить

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

cos (x) (2 cos^{2} (x) - 1)

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (x), b = 2 cos^{2} (x), c = 1

= cos (x) 2 cos^{2} (x) - cos (x) 1

= 2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

Упростить

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 \cdot cos (x) : 2 cos^{3} (x) - cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) - 1 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 cos (x)

Умножьте:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 (1 - cos^{2} (x)) cos (x)

Расширить

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x)) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 cos (x) (1 - cos^{2} (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 2 cos (x) 1 - (- 2 cos (x)) cos^{2} (x)

Применение правил минус-плюс

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

Упростить

- 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x) : - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

- 2 \cdot 1 cos (x) + 2 cos^{2} (x) cos (x)

2 \cdot 1 \cdot cos (x) = 2 cos (x)

2 \cdot 1 cos (x)

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (x)

2 cos^{2} (x) cos (x) = 2 cos^{3} (x)

2 cos^{2} (x) cos (x)

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos (x) = cos^{2 + 1} (x)

= 2 cos^{2 + 1} (x)

Добавьте числа:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

= 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Упростить

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x) : 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x) + 2 cos^{3} (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= 2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Добавьте похожие элементы:

2 cos^{3} (x) + 2 cos^{3} (x) = 4 cos^{3} (x)

= 4 cos^{3} (x) - cos (x) - 2 cos (x)

Добавьте похожие элементы:

- cos (x) - 2 cos (x) = - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= 4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)

= - 1 - cos (x) + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x))

Упростите

- 1 - cos (x) + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) : - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

- 1 - cos (x) + 2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x))

Расширить

2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x)) : 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

2 (4 cos^{3} (x) - 3 cos (x))

Примените распределительный закон:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 4 cos^{3} (x), c = 3 cos (x)

= 2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Упростить

2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x) : 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

2 \cdot 4 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= 8 cos^{3} (x) - 2 \cdot 3 cos (x)

Перемножьте числа:

2 \cdot 3 = 6

= 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

= 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

= - 1 - cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

Упростить

- 1 - cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x) : - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

- 1 - cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x)

Сгруппируйте похожие слагаемые

= - cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 6 cos (x) - 1

Добавьте похожие элементы:

- cos (x) - 6 cos (x) = - 7 cos (x)

= - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

= - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

= - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) - 1

- 1 - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Решитe подстановкой

- 1 - 7 cos (x) + 8 cos^{3} (x) = 0

Допустим:

cos (x) = u

- 1 - 7 u + 8 u^{3} = 0

- 1 - 7 u + 8 u^{3} = 0 : u = 1, u = \frac{- 2 + 2}{4}, u = - \frac{2 + 2}{4}

- 1 - 7 u + 8 u^{3} = 0

Запишите в стандартной форме

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{3} - 7 u - 1 = 0

Найдите множитель

8 u^{3} - 7 u - 1 : (u - 1) (8 u^{2} + 8 u + 1)

8 u^{3} - 7 u - 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 8

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1, 2, 4, 8

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4 , 8}

\frac{1}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u - 1

= (u - 1) \frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1}

\frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u^{2} + 8 u + 1

\frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1} : \frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u^{2} + \frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

8 u^{3} - 7 u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{8 u ^{3}}{u} = 8 u^{2}

Частное = 8 u^{2}

Умножьте

u - 1

на

8 u^{2} : 8 u^{3} - 8 u^{2}

Вычтите

8 u^{3} - 8 u^{2}

из

8 u^{3} - 7 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 8 u^{2} - 7 u - 1

Поэтому

\frac{8 u ^{3} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u^{2} + \frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1}

= 8 u^{2} + \frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1} : \frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

8 u^{2} - 7 u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{8 u ^{2}}{u} = 8 u

Частное = 8 u

Умножьте

u - 1

на

8 u : 8 u^{2} - 8 u

Вычтите

8 u^{2} - 8 u

из

8 u^{2} - 7 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = u - 1

Поэтому

\frac{8 u ^{2} - 7 u - 1}{u - 1} = 8 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= 8 u^{2} + 8 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Частное = 1

Умножьте

u - 1

на

1 : u - 1

Вычтите

u - 1

из

u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= 8 u^{2} + 8 u + 1

= (u - 1) (8 u^{2} + 8 u + 1)

(u - 1) (8 u^{2} + 8 u + 1) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

u - 1 = 0 or 8 u^{2} + 8 u + 1 = 0

Решить

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

Решить

8 u^{2} + 8 u + 1 = 0 : u = \frac{- 2 + 2}{4}, u = - \frac{2 + 2}{4}

8 u^{2} + 8 u + 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

8 u^{2} + 8 u + 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 8, b = 8, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1}{2 \cdot 8}

8^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 42

8^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 8 \cdot 1 = 32

= 8^{2} - 32

8^{2} = 64

= 64 - 32

Вычтите числа:

64 - 32 = 32

= 32

Первичное разложение на множители

32 : 2^{5}

32

32

делится на

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 16

16

делится на

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

делится на

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

делится на

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

является простым числом, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Примените правило радикалов:

= 2 2^{4}

Примените правило радикалов:

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Уточнить

= 42

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 4 2}{2 \cdot 8}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 8 + 4 2}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 8 - 4 2}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 8 + 4 2}{2 \cdot 8} : \frac{- 2 + 2}{4}

\frac{- 8 + 4 2}{2 \cdot 8}

Перемножьте числа:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8 + 4 2}{16}

коэффициент

- 8 + 42 : 4 (- 2 + 2)

- 8 + 42

Перепишите как

= - 4 \cdot 2 + 42

Убрать общее значение

4

= 4 (- 2 + 2)

= \frac{4 ( - 2 + 2 )}{16}

Отмените общий множитель:

4

= \frac{- 2 + 2}{4}

u = \frac{- 8 - 4 2}{2 \cdot 8} : - \frac{2 + 2}{4}

\frac{- 8 - 4 2}{2 \cdot 8}

Перемножьте числа:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8 - 4 2}{16}

коэффициент

- 8 - 42 : - 4 (2 + 2)

- 8 - 42

Перепишите как

= - 4 \cdot 2 - 42

Убрать общее значение

4

= - 4 (2 + 2)

= - \frac{4 ( 2 + 2 )}{16}

Отмените общий множитель:

4

= - \frac{2 + 2}{4}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{- 2 + 2}{4}, u = - \frac{2 + 2}{4}

Решениями являются

u = 1, u = \frac{- 2 + 2}{4}, u = - \frac{2 + 2}{4}

Делаем обратную замену

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

cos (x) = 1, cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Общие решения для

cos (x) = 1

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Решить

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4} : x = arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}

Общие решения для

cos (x) = \frac{- 2 + 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 + 2}{4} : x = arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

Примените обратные тригонометрические свойства

cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

Общие решения для

cos (x) = - \frac{2 + 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

Объедините все решения

x = 2 πn, x = arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{- 2 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 + 2}{4}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = 2 πn, x = 1.71777 \dots + 2 πn, x = - 1.71777 \dots + 2 πn, x = 2.59356 \dots + 2 πn, x = - 2.59356 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры