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Beliebt Trigonometrie >

1+cos(2θ)=-3cos(θ)

Lösung

1 + cos (2 θ) = - 3 cos (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 + cos (2 θ) = - 3 cos (θ)

Subtrahiere

- 3 cos (θ)

von beiden Seiten

1 + cos (2 θ) + 3 cos (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos (2 θ) + 3 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ) : 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ)

1 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ)

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 u^{2} + 3 u = 0

2 u^{2} + 3 u = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{2}

2 u^{2} + 3 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 3 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 3, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 3

3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 3^{2} - 0

3^{2} - 0 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 3}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- 3 + 3}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 3 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = \frac{- 3 - 3}{2 \cdot 2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 3 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 6}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = - \frac{3}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 0, cos (θ) = - \frac{3}{2}

cos (θ) = 0, cos (θ) = - \frac{3}{2}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (θ) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)= 6/0

tan (θ) = \frac{6}{0}

3cos(20t)+6sin(20t)=0

3 cos (20 t) + 6 sin (20 t) = 0

tan(θ)= 6/2

tan (θ) = \frac{6}{2}

tan(θ)= 6/4

tan (θ) = \frac{6}{4}

2cot^2(x)+3csc(x)=0

2 cot^{2} (x) + 3 csc (x) = 0