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Beliebt Trigonometrie >

2sec(2x)+tan(2x)-3=0

Lösung

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

Lösung

x = \frac{0.56432 \dots}{2} + πn, x = - \frac{1.20782 \dots}{2} + πn

Grad

x = 16.16676 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 34.60171 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

Drücke mit sin, cos aus

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 = 0

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3 : \frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )} = \frac{2}{cos ( 2 x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( 2 x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( 2 x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( 2 x )}

= \frac{2}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 3

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{sin ( 2 x ) + 2}{cos ( 2 x )} - 3

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{2 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{2 + sin ( 2 x ) - 3 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 + sin (2 x) - 3 cos (2 x) = 0

Füge

3 cos (2 x)

zu beiden Seiten hinzu

2 + sin (2 x) = 3 cos (2 x)

Quadriere beide Seiten

(2 + sin (2 x))^{2} = (3 cos (2 x))^{2}

Subtrahiere

(3 cos (2 x))^{2}

von beiden Seiten

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 cos^{2} (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 cos^{2} (2 x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Vereinfache

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x)) : 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

(2 + sin (2 x))^{2} - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

(2 + sin (2 x))^{2} : 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 2, b = sin (2 x)

= 2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Vereinfache

2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) : 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

2^{2} + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

2^{2} = 4

= 4 + 2 \cdot 2 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Multipliziere aus

- 9 (1 - sin^{2} (2 x)) : - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

- 9 (1 - sin^{2} (2 x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 9, b = 1, c = sin^{2} (2 x)

= - 9 \cdot 1 - (- 9) sin^{2} (2 x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 9 \cdot 1 + 9 sin^{2} (2 x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

= 4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

Vereinfache

4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x) : 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

4 + 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) - 9 + 9 sin^{2} (2 x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 sin (2 x) + sin^{2} (2 x) + 9 sin^{2} (2 x) + 4 - 9

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (2 x) + 9 sin^{2} (2 x) = 10 sin^{2} (2 x)

= 4 sin (2 x) + 10 sin^{2} (2 x) + 4 - 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 9 = - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

= 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) - 5

- 5 + 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) = 0

Löse mit Substitution

- 5 + 10 sin^{2} (2 x) + 4 sin (2 x) = 0

Angenommen:

sin (2 x) = u

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0 : u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

- 5 + 10 u^{2} + 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

10 u^{2} + 4 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 10, b = 4, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 4 ^{2} - 4 \cdot 10 ( - 5 )}{2 \cdot 10}

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5) = 66

4^{2} - 4 \cdot 10 (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 4^{2} + 200

4^{2} = 16

= 16 + 200

Addiere die Zahlen:

16 + 200 = 216

= 216

Primfaktorzerlegung von

216 : 2^{3} \cdot 3^{3}

216

216

ist durch

2216 = 108 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 108

108

ist durch

2108 = 54 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 54

54

ist durch

254 = 27 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{3}

= 2^{3} \cdot 3^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 3 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 66

u_{1, 2} = \frac{- 4 \pm 6 6}{2 \cdot 10}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10} : \frac{- 2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 + 6 6}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 + 6 6}{20}

Faktorisiere

- 4 + 66 : 2 (- 2 + 36)

- 4 + 66

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 36

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 2 + 36)

= \frac{2 ( - 2 + 3 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 2 + 3 6}{10}

u = \frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10} : - \frac{2 + 3 6}{10}

\frac{- 4 - 6 6}{2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 4 - 6 6}{20}

Faktorisiere

- 4 - 66 : - 2 (2 + 36)

- 4 - 66

Schreibe um

= - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 36

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (2 + 36)

= - \frac{2 ( 2 + 3 6 )}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2 + 3 6}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 2 + 3 6}{10}, u = - \frac{2 + 3 6}{10}

Setze in

u = sin (2 x)

ein

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}, sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10} : x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = \frac{- 2 + 3 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Löse

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Löse

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π - arcsin (\frac{- 2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10} : x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (2 x) = - \frac{2 + 3 6}{10}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn, 2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Löse

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2 + 3 6}{10}) = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10})

= - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

2 x = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = - arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Löse

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn : x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = π + arcsin (\frac{2 + 3 6}{10}) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Wahr

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

ein, um zu lösen

2 sec 2 \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Falsch

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

ein, um zu lösen

2 sec 2 \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{π}{2} - \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Fasse zusammen

- 6 = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Wahr

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

- \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Setze

x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

ein, um zu lösen

2 sec 2 - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn :

Falsch

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1

2 sec (2 x) + tan (2 x) - 3 = 0

ein, um zu lösen

2 sec 2 \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 + tan 2 \frac{π}{2} + \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + π 1 - 3 = 0

Fasse zusammen

- 6 = 0

\Rightarrow Falsch

x = \frac{arcsin ( \frac{- 2 + 3 6}{10} )}{2} + πn, x = - \frac{arcsin ( \frac{2 + 3 6}{10} )}{2} + πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{0.56432 \dots}{2} + πn, x = - \frac{1.20782 \dots}{2} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,5=9.4cos(x)

so l v e f or x, 5 = 9.4 cos (x)

20=2.891sin(0.016d-1.183)+18.512

20 = 2.891 sin (0.016 d - 1.183) + 18.512

2sin(θ)=-1,0<= θ<2pi

2 sin (θ) = - 1, 0 \leq θ < 2 π

cos(16x)=0

cos (16 x) = 0

sin(θ)=-(sqrt(35))/6

sin (θ) = - \frac{35}{6}