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Beliebt Trigonometrie >

2sin^2(x)-sqrt(2sin(x))=0

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Lösung

2sin2(x)−2sin(x)​=0

Lösung

x=2πn,x=π+2πn,x=0.91686…+2πn,x=π−0.91686…+2πn
+1
Grad
x=0∘+360∘n,x=180∘+360∘n,x=52.53268…∘+360∘n,x=127.46731…∘+360∘n
Schritte zur Lösung
2sin2(x)−2sin(x)​=0
Löse mit Substitution
2sin2(x)−2sin(x)​=0
Angenommen: sin(x)=u2u2−2u​=0
2u2−2u​=0:u=0,u=2232​​
2u2−2u​=0
Quadratwurzeln entfernen
2u2−2u​=0
Subtrahiere 2u2 von beiden Seiten2u2−2u​−2u2=0−2u2
Vereinfache−2u​=−2u2
Quadriere beide Seiten:2u=4u4
2u2−2u​=0
(−2u​)2=(−2u2)2
Schreibe (−2u​)2um:2u
(−2u​)2
Wende Exponentenregel an: (−a)n=an,wenn n gerade ist(−2u​)2=(2u​)2=(2u​)2
Wende Radikal Regel an: a​=a21​=((2u)21​)2
Wende Exponentenregel an: (ab)c=abc=(2u)21​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Multipliziere Brüche: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: 2=1
=2u
Schreibe (−2u2)2um:4u4
(−2u2)2
Wende Exponentenregel an: (−a)n=an,wenn n gerade ist(−2u2)2=(2u2)2=(2u2)2
Wende Exponentenregel an: (a⋅b)n=anbn=22(u2)2
(u2)2:u4
Wende Exponentenregel an: (ab)c=abc=u2⋅2
Multipliziere die Zahlen: 2⋅2=4=u4
=22u4
22=4=4u4
2u=4u4
2u=4u4
2u=4u4
Löse 2u=4u4:u=0,u=2232​​
2u=4u4
Verschiebe 4u4auf die linke Seite
2u=4u4
Subtrahiere 4u4 von beiden Seiten2u−4u4=4u4−4u4
Vereinfache2u−4u4=0
2u−4u4=0
Faktorisiere 2u−4u4:−2u(32​u−1)(232​u2+32​u+1)
2u−4u4
Klammere gleiche Terme aus −2u:−2u(2u3−1)
−4u4+2u
Wende Exponentenregel an: ab+c=abacu4=u3u=−4u3u+2u
Schreibe 4um: 2⋅2=−2⋅2u3u+2u
Klammere gleiche Terme aus −2u=−2u(2u3−1)
=−2u(2u3−1)
Faktorisiere 2u3−1:(32​u−1)((32​)2u2+32​u+1)
2u3−1
Schreibe 2u3−1um: (32​u)3−13
2u3−1
Wende Radikal Regel an: a=(a​)22=(32​)3=(32​)3u3−1
Schreibe 1um: 13=(32​)3u3−13
Wende Exponentenregel an: ambm=(ab)m(32​)3u3=(32​u)3=(32​u)3−13
=(32​u)3−13
Wende Formel zur Differenz von dritten Potenzen an: x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)(32​u)3−13=(32​u−1)((32​)2u2+32​u+1)=(32​u−1)((32​)2u2+32​u+1)
=−2u(32​u−1)((32​)2u2+32​u+1)
Fasse zusammen=−2u(32​u−1)(232​u2+32​u+1)
−2u(32​u−1)(232​u2+32​u+1)=0
Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn ab=0dann a=0oder b=0u=0or32​u−1=0or232​u2+32​u+1=0
Löse 32​u−1=0:u=2232​​
32​u−1=0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
32​u−1=0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzu32​u−1+1=0+1
Vereinfache32​u=1
32​u=1
Teile beide Seiten durch 32​
32​u=1
Teile beide Seiten durch 32​32​32​u​=32​1​
Vereinfache
32​32​u​=32​1​
Vereinfache 32​32​u​:u
32​32​u​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: 32​=u
Vereinfache 32​1​:2232​​
32​1​
Multipliziere mit dem Konjugat 232​232​​=32​⋅232​1⋅232​​
1⋅232​=232​
32​⋅232​=2
32​⋅232​
Wende Exponentenregel an: ab⋅ac=ab+c232​32​=232​⋅231​=232​+31​=232​+31​
Füge 32​+31​zusammen:1
32​+31​
Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.: ca​±cb​=ca±b​=32+1​
Addiere die Zahlen: 2+1=3=33​
Wende Regel an aa​=1=1
=21
Wende Regel an a1=a=2
=2232​​
u=2232​​
u=2232​​
u=2232​​
Löse 232​u2+32​u+1=0:Keine Lösung für u∈R
232​u2+32​u+1=0
Diskriminante 232​u2+32​u+1=0:−3⋅232​
232​u2+32​u+1=0
Für eine quadratische Gleichung in der Form ax2+bx+c=0 ist die Diskriminante b2−4acFür a=232​,b=32​,c=1:(32​)2−4⋅232​⋅1(32​)2−4⋅232​⋅1
Schreibe (32​)2−4⋅232​⋅1um:−3⋅232​
(32​)2−4⋅232​⋅1
(32​)2=232​
(32​)2
Wende Radikal Regel an: na​=an1​=(231​)2
Wende Exponentenregel an: (ab)c=abc=231​⋅2
31​⋅2=32​
31​⋅2
Multipliziere Brüche: a⋅cb​=ca⋅b​=31⋅2​
Multipliziere die Zahlen: 1⋅2=2=32​
=232​
4⋅232​⋅1=4⋅232​
4⋅232​⋅1
Multipliziere die Zahlen: 4⋅1=4=4⋅232​
=232​−4⋅232​
Addiere gleiche Elemente: 232​−4⋅232​=−3⋅232​=−3⋅232​
−3⋅232​
Diskriminante kann nicht negativ sein für u∈R
Deshalb ist die LösungKeineLo¨sungfu¨ru∈R
Die Lösungen sindu=0,u=2232​​
u=0,u=2232​​
Überprüfe die Lösungen:u=0Wahr,u=2232​​Wahr
Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in 2u2−2u​=0
einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.
Setze ein u=0:Wahr
2⋅02−2⋅0​=0
2⋅02−2⋅0​=0
2⋅02−2⋅0​
Wende Regel an 0a=002=0=2⋅0−2⋅0​
2⋅0=0
2⋅0
Wende Regel an 0⋅a=0=0
2⋅0​=0
2⋅0​
Wende Regel an 0⋅a=0=0​
Wende Regel an 0​=0=0
=0−0
Subtrahiere die Zahlen: 0−0=0=0
0=0
Wahr
Setze ein u=2232​​:Wahr
2(2232​​)2−2(2232​​)​=0
2(2232​​)2−2(2232​​)​=231​−232​​
2(2232​​)2−2(2232​​)​
Entferne die Klammern: (a)=a=2(2232​​)2−2⋅2232​​​
2(2232​​)2=231​
2(2232​​)2
(2232​​)2=232​1​
(2232​​)2
2232​​=231​1​
2232​​
Wende Exponentenregel an: xbxa​=xb−a1​2232​​=21−32​1​=21−32​1​
Subtrahiere die Zahlen: 1−32​=31​=231​1​
=(231​1​)2
Wende Exponentenregel an: (ba​)c=bcac​=(231​)212​
(231​)2:232​
Wende Exponentenregel an: (ab)c=abc=231​⋅2
31​⋅2=32​
31​⋅2
Multipliziere Brüche: a⋅cb​=ca⋅b​=31⋅2​
Multipliziere die Zahlen: 1⋅2=2=32​
=232​
=232​12​
Wende Regel an 1a=112=1=232​1​
=2⋅232​1​
Multipliziere Brüche: a⋅cb​=ca⋅b​=232​1⋅2​
Multipliziere die Zahlen: 1⋅2=2=232​2​
Wende Exponentenregel an: xbxa​=xa−b232​2​=21−32​=21−32​
Subtrahiere die Zahlen: 1−32​=31​=231​
2⋅2232​​​=232​​
2⋅2232​​​
Multipliziere 2⋅2232​​:232​
2⋅2232​​
Multipliziere Brüche: a⋅cb​=ca⋅b​=2232​⋅2​
Streiche die gemeinsamen Faktoren: 2=232​
=232​​
=231​−232​​
231​−232​​=0
Wahr
Die Lösungen sindu=0,u=2232​​
Setze in u=sin(x)einsin(x)=0,sin(x)=2232​​
sin(x)=0,sin(x)=2232​​
sin(x)=0:x=2πn,x=π+2πn
sin(x)=0
Allgemeine Lösung für sin(x)=0
sin(x) Periodizitätstabelle mit 2πn Zyklus:
x=0+2πn,x=π+2πn
x=0+2πn,x=π+2πn
Löse x=0+2πn:x=2πn
x=0+2πn
0+2πn=2πnx=2πn
x=2πn,x=π+2πn
sin(x)=2232​​:x=arcsin(2232​​)+2πn,x=π−arcsin(2232​​)+2πn
sin(x)=2232​​
Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an
sin(x)=2232​​
Allgemeine Lösung für sin(x)=2232​​sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πnx=arcsin(2232​​)+2πn,x=π−arcsin(2232​​)+2πn
x=arcsin(2232​​)+2πn,x=π−arcsin(2232​​)+2πn
Kombiniere alle Lösungenx=2πn,x=π+2πn,x=arcsin(2232​​)+2πn,x=π−arcsin(2232​​)+2πn
Zeige Lösungen in Dezimalform x=2πn,x=π+2πn,x=0.91686…+2πn,x=π−0.91686…+2πn

Graph

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Beliebte Beispiele

9sin^2(x)-6sin(x)+1=09sin2(x)−6sin(x)+1=0cos(a)+1=4cos(a)+1cos(a)+1=4cos(a)+16cos(x)+3sin(x)=56cos(x)+3sin(x)=5(2sin(x)-1)cos(x)=0(2sin(x)−1)cos(x)=0sin(2x)+cos(x)=0,x<= 2pi,0sin(2x)+cos(x)=0,x≤2π,0
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