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Populaire Trigonométrie >

2+sqrt(3)sec(x)-4cos(x)=2sqrt(3)

Solution

2 + 3 sec (x) - 4 cos (x) = 23

Solution

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Degrés

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 + 3 sec (x) - 4 cos (x) = 23

Soustraire

23

des deux côtés

2 + 3 sec (x) - 4 cos (x) - 23 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

2 - 23 - 4 cos (x) + sec (x) 3

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= 2 - 23 - 4 \cdot \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) 3

4 \cdot \frac{1}{sec ( x )} = \frac{4}{sec ( x )}

4 \cdot \frac{1}{sec ( x )}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{sec ( x )}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{sec ( x )}

= 2 - 23 - \frac{4}{sec ( x )} + 3 sec (x)

2 - \frac{4}{sec ( x )} - 23 + sec (x) 3 = 0

Résoudre par substitution

2 - \frac{4}{sec ( x )} - 23 + sec (x) 3 = 0

Soit :

sec (x) = u

2 - \frac{4}{u} - 23 + u 3 = 0

2 - \frac{4}{u} - 23 + u 3 = 0 : u = 2, u = - \frac{2 3}{3}

2 - \frac{4}{u} - 23 + u 3 = 0

Multiplier les deux côtés par

u

2 - \frac{4}{u} - 23 + u 3 = 0

Multiplier les deux côtés par

u

2 u - \frac{4}{u} u - 23 u + u 3 u = 0 \cdot u

Simplifier

2 u - \frac{4}{u} u - 23 u + u 3 u = 0 \cdot u

Simplifier

- \frac{4}{u} u : - 4

- \frac{4}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{4 u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= - 4

Simplifier

u 3 u : 3 u^{2}

u 3 u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 3 u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= 3 u^{2}

Simplifier

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

2 u - 4 - 23 u + 3 u^{2} = 0

2 u - 4 - 23 u + 3 u^{2} = 0

2 u - 4 - 23 u + 3 u^{2} = 0

Résoudre

2 u - 4 - 23 u + 3 u^{2} = 0 : u = 2, u = - \frac{2 3}{3}

2 u - 4 - 23 u + 3 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} + (2 - 23) u - 4 = 0

Résoudre par la formule quadratique

3 u^{2} + (2 - 23) u - 4 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 3, b = 2 - 23, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - 2 3 ) \pm ( 2 - 2 3 ) ^{2} - 4 3 ( - 4 )}{2 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - 2 3 ) \pm ( 2 - 2 3 ) ^{2} - 4 3 ( - 4 )}{2 3}

(2 - 23)^{2} - 43 (- 4) = 23 + 2

(2 - 23)^{2} - 43 (- 4)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (2 - 23)^{2} + 43 \cdot 4

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 = 16

= (2 - 23)^{2} + 163

Développer

(2 - 23)^{2} + 163 : 16 + 83

(2 - 23)^{2} + 163

(2 - 23)^{2} : 16 - 83

Appliquer la formule du carré parfait:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 23

= 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 23 + (23)^{2}

Simplifier

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 23 + (23)^{2} : 16 - 83

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 23 + (23)^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

2 \cdot 2 \cdot 23 = 83

2 \cdot 2 \cdot 23

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

= 83

(23)^{2} = 12

(23)^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Appliquer la règle des radicaux:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Annuler le facteur commun :

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

2^{2} = 4

= 4 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 3 = 12

= 12

= 4 - 83 + 12

Additionner les nombres :

4 + 12 = 16

= 16 - 83

= 16 - 83

= 16 - 83 + 163

Additionner les éléments similaires :

- 83 + 163 = 83

= 16 + 83

= 16 + 83

= 12 + 83 + 4

= 4 \cdot 3 + 83 + 4

= (4)^{2} (3)^{2} + 83 + (4)^{2}

4 = 2

4

Factoriser le nombre :

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2^{2} (3)^{2} + 83 + 2^{2}

2 \cdot 23 \cdot 2 = 83

2 \cdot 23 \cdot 2

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

= 83

= (23)^{2} + 2 \cdot 23 \cdot 2 + 2^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(23)^{2} + 2 \cdot 23 \cdot 2 + 2^{2} = (23 + 2)^{2}

= (23 + 2)^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

(23 + 2)^{2} = 23 + 2

= 23 + 2

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - 2 3 ) \pm ( 2 3 + 2 )}{2 3}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( 2 - 2 3 ) + 2 3 + 2}{2 3}, u_{2} = \frac{- ( 2 - 2 3 ) - ( 2 3 + 2 )}{2 3}

u = \frac{- ( 2 - 2 3 ) + 2 3 + 2}{2 3} : 2

\frac{- ( 2 - 2 3 ) + 2 3 + 2}{2 3}

Développer

- (2 - 23) + 23 + 2 : 43

- (2 - 23) + 23 + 2

- (2 - 23) : - 2 + 23

- (2 - 23)

Distribuer des parenthèses

= - (2) - (- 23)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + 23

= - 2 + 23 + 23 + 2

Simplifier

- 2 + 23 + 23 + 2 : 43

- 2 + 23 + 23 + 2

Additionner les éléments similaires :

23 + 23 = 43

= - 2 + 43 + 2

- 2 + 2 = 0

= 43

= 43

= \frac{4 3}{2 3}

Diviser les nombres :

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2 3}{3}

Annuler le facteur commun :

3

= 2

u = \frac{- ( 2 - 2 3 ) - ( 2 3 + 2 )}{2 3} : - \frac{2 3}{3}

\frac{- ( 2 - 2 3 ) - ( 2 3 + 2 )}{2 3}

Développer

- (2 - 23) - (23 + 2) : - 4

- (2 - 23) - (23 + 2)

- (2 - 23) : - 2 + 23

- (2 - 23)

Distribuer des parenthèses

= - (2) - (- 23)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + 23

= - 2 + 23 - (23 + 2)

- (23 + 2) : - 23 - 2

- (23 + 2)

Distribuer des parenthèses

= - (23) - (2)

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - 23 - 2

= - 2 + 23 - 23 - 2

Simplifier

- 2 + 23 - 23 - 2 : - 4

- 2 + 23 - 23 - 2

Additionner les éléments similaires :

23 - 23 = 0

= - 2 - 2

Soustraire les nombres :

- 2 - 2 = - 4

= - 4

= - 4

= \frac{- 4}{2 3}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2 3}

Diviser les nombres :

\frac{4}{2} = 2

= - \frac{2}{3}

Simplifier

- \frac{2}{3} : - \frac{2 3}{3}

- \frac{2}{3}

Multiplier par le conjugué

\frac{3}{3}

= - \frac{2 3}{3 3}

33 = 3

33

Appliquer la règle des radicaux:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{2 3}{3}

= - \frac{2 3}{3}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = 2, u = - \frac{2 3}{3}

u = 2, u = - \frac{2 3}{3}

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

2 - \frac{4}{u} - 23 + u 3

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 2, u = - \frac{2 3}{3}

Remplacer

u = sec (x)

sec (x) = 2, sec (x) = - \frac{2 3}{3}

sec (x) = 2, sec (x) = - \frac{2 3}{3}

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = 2

Solutions générales pour

sec (x) = 2

Tableau de périodicité

sec (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - \frac{2 3}{3} : x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

sec (x) = - \frac{2 3}{3}

Solutions générales pour

sec (x) = - \frac{2 3}{3}

Tableau de périodicité

sec (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

4sin(x)*cos(x)=2sin(x)

4 sin (x) \cdot cos (x) = 2 sin (x)

cos(θ)=0.8701

cos (θ) = 0.8701

tan(x)=(25.644)/(106.372)

tan (x) = \frac{25.644}{106.372}

-1=2cos(2θ)

- 1 = 2 cos (2 θ)

tan(x)= 10/12

tan (x) = \frac{10}{12}