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人気のある三角関数 >

cos(2x)sin(x)=1

解

cos (2 x) sin (x) = 1

解

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

+1

度

x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

cos (2 x) sin (x) = 1

両辺から

1

を引く

cos (2 x) sin (x) - 1 = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + cos (2 x) sin (x)

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x)

- 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) = 0

置換で解く

- 1 + (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) = 0

仮定:

sin (x) = u

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u = 0

拡張

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u : - 1 + u - 2 u^{3}

- 1 + (1 - 2 u^{2}) u

= - 1 + u (1 - 2 u^{2})

拡張

u (1 - 2 u^{2}) : u - 2 u^{3}

u (1 - 2 u^{2})

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 1, c = 2 u^{2}

= u \cdot 1 - u \cdot 2 u^{2}

= 1 \cdot u - 2 u^{2} u

簡素化

1 \cdot u - 2 u^{2} u : u - 2 u^{3}

1 \cdot u - 2 u^{2} u

1 \cdot u = u

1 \cdot u

乗算:

1 \cdot u = u

= u

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

数を足す:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

= u - 2 u^{3}

= u - 2 u^{3}

= - 1 + u - 2 u^{3}

- 1 + u - 2 u^{3} = 0

標準的な形式で書く

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 2 u^{3} + u - 1 = 0

因数

- 2 u^{3} + u - 1 : - (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

- 2 u^{3} + u - 1

共通項をくくり出す

- 1

= - (2 u^{3} - u + 1)

因数

2 u^{3} - u + 1 : (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

2 u^{3} - u + 1

有理根定理を使用する

a_{0} = 1, a_{n} = 2

a_{0} : 1

の除数,

a_{n} : 1, 2

の除数

ゆえに次の有理数をチェックする:

\pm \frac{1}{1 , 2}

- \frac{1}{1}

は式の累乗根なので

u + 1

をくくり出す

= (u + 1) \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} - 2 u + 1

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1}

割る

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} : \frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

分子

2 u^{3} - u + 1

と除数

u + 1

の主係数で割る:

\frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

商 = 2 u^{2}

u + 1

に

2 u^{2}

を乗じる:

2 u^{3} + 2 u^{2}

2 u^{3} + 2 u^{2}

を

2 u^{3} - u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = - 2 u^{2} - u + 1

このため

\frac{2 u ^{3} - u + 1}{u + 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1}

割る

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} : \frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

分子

- 2 u^{2} - u + 1

と除数

u + 1

の主係数で割る:

\frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

商 = - 2 u

u + 1

に

- 2 u

を乗じる:

- 2 u^{2} - 2 u

- 2 u^{2} - 2 u

を

- 2 u^{2} - u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = u + 1

このため

\frac{- 2 u ^{2} - u + 1}{u + 1} = - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

= 2 u^{2} - 2 u + \frac{u + 1}{u + 1}

割る

\frac{u + 1}{u + 1} : \frac{u + 1}{u + 1} = 1

分子

u + 1

と除数

u + 1

の主係数で割る:

\frac{u}{u} = 1

商 = 1

u + 1

に

1

を乗じる:

u + 1

u + 1

を

u + 1

から引いて新しい余りを得る

余り = 0

このため

\frac{u + 1}{u + 1} = 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= 2 u^{2} - 2 u + 1

= (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

= - (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1)

- (u + 1) (2 u^{2} - 2 u + 1) = 0

零因子の原則を使用:

ab = 0

ならば

a = 0

または

b = 0

u + 1 = 0 or 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

解く

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

1

を右側に移動します

u + 1 = 0

両辺から

1

を引く

u + 1 - 1 = 0 - 1

簡素化

u = - 1

u = - 1

解く

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0 : u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

解くとthe二次式

2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

簡素化

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 : 2 i

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

数を乗じる:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} - 8

虚数の規則を適用する:

- a = i a

= i 8 - 2^{2}

- 2^{2} + 8 = 2

- 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= - 4 + 8

数を足す/引く:

- 4 + 8 = 4

= 4

数を因数に分解する:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= 2 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 i}{2 \cdot 2}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 i}{2 \cdot 2}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 i}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 i}{4}

因数

2 + 2 i : 2 (1 + i)

2 + 2 i

書き換え

= 2 \cdot 1 + 2 i

共通項をくくり出す

2

= 2 (1 + i)

= \frac{2 ( 1 + i )}{4}

共通因数を約分する:

2

= \frac{1 + i}{2}

標準的な複素数形式で

\frac{1 + i}{2}

を書き換える:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

\frac{1 + i}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 i}{2 \cdot 2}

規則を適用

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 i}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 i}{4}

因数

2 - 2 i : 2 (1 - i)

2 - 2 i

書き換え

= 2 \cdot 1 - 2 i

共通項をくくり出す

2

= 2 (1 - i)

= \frac{2 ( 1 - i )}{4}

共通因数を約分する:

2

= \frac{1 - i}{2}

標準的な複素数形式で

\frac{1 - i}{2}

を書き換える:

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

\frac{1 - i}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

二次equationの解:

u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

解答は

u = - 1, u = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, u = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sin (x) = - 1, sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

以下の一般解

sin (x) = - 1

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2} :

解なし

sin (x) = \frac{1}{2} + i \frac{1}{2}

解なし

sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2} :

解なし

sin (x) = \frac{1}{2} - i \frac{1}{2}

解なし

すべての解を組み合わせる

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

グラフ

人気の例

sin (θ) = 10

17.6^2=15^2+13.1^2-2(15)(13.1)*cos(A)

17. 6^{2} = 1 5^{2} + 13. 1^{2} - 2 (15) (13.1) \cdot cos (A)

sin (θ) = 45

cot(θ)+2csc(θ)=6

cot (θ) + 2 csc (θ) = 6

(1+cot(x))/(1+tan(x))=5

\frac{1 + cot ( x )}{1 + tan ( x )} = 5