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Popolare Trigonometria >

8sin(θ)cos(θ)tan(θ)=csc(θ)

Soluzione

8 sin (θ) cos (θ) tan (θ) = csc (θ)

Soluzione

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Gradi

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

8 sin (θ) cos (θ) tan (θ) = csc (θ)

Sottrarre

csc (θ)

da entrambi i lati

8 sin (θ) cos (θ) tan (θ) - csc (θ) = 0

Esprimere con sen e cos

- csc (θ) + 8 cos (θ) sin (θ) tan (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{1}{sin ( θ )} + 8 cos (θ) sin (θ) tan (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1}{sin ( θ )} + 8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Semplifica

- \frac{1}{sin ( θ )} + 8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{- 1 + 8 sin ^{3} ( θ )}{sin ( θ )}

- \frac{1}{sin ( θ )} + 8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = 8 sin^{2} (θ)

8 cos (θ) sin (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 8 cos ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ )}

Cancella il fattore comune:

cos (θ)

= sin (θ) \cdot 8 sin (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 8 sin^{1 + 1} (θ)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 8 sin^{2} (θ)

= - \frac{1}{sin ( θ )} + 8 sin^{2} (θ)

Converti l'elemento in frazione:

8 sin^{2} (θ) = \frac{8 sin ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

= - \frac{1}{sin ( θ )} + \frac{8 sin ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 + 8 sin ^{2} ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

- 1 + 8 sin^{2} (θ) sin (θ) = - 1 + 8 sin^{3} (θ)

- 1 + 8 sin^{2} (θ) sin (θ)

8 sin^{2} (θ) sin (θ) = 8 sin^{3} (θ)

8 sin^{2} (θ) sin (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (θ) sin (θ) = sin^{2 + 1} (θ)

= 8 sin^{2 + 1} (θ)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 8 sin^{3} (θ)

= - 1 + 8 sin^{3} (θ)

= \frac{- 1 + 8 sin ^{3} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{- 1 + 8 sin ^{3} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{- 1 + 8 sin ^{3} ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 1 + 8 sin^{3} (θ) = 0

Risolvi per sostituzione

- 1 + 8 sin^{3} (θ) = 0

Sia:

sin (θ) = u

- 1 + 8 u^{3} = 0

- 1 + 8 u^{3} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

- 1 + 8 u^{3} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

- 1 + 8 u^{3} = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

- 1 + 8 u^{3} + 1 = 0 + 1

Semplificare

8 u^{3} = 1

8 u^{3} = 1

Dividere entrambi i lati per

8

8 u^{3} = 1

Dividere entrambi i lati per

8

\frac{8 u ^{3}}{8} = \frac{1}{8}

Semplificare

u^{3} = \frac{1}{8}

u^{3} = \frac{1}{8}

Per

x^{3} = f (a)

le soluzioni sono

x = 3 f (a), 3 f (a) \frac{- 1 - 3 i}{2}, 3 f (a) \frac{- 1 + 3 i}{2}

u = 3 \frac{1}{8}, u = 3 \frac{1}{8} \frac{- 1 + 3 i}{2}, u = 3 \frac{1}{8} \frac{- 1 - 3 i}{2}

3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

3 \frac{1}{8}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 8}

38 = 2

38

Fattorizzare il numero:

8 = 2^{3}

= 3 2^{3}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 2

= \frac{3 1}{2}

Applicare la regola

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2}

Semplifica

3 \frac{1}{8} \frac{- 1 + 3 i}{2} : - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

3 \frac{1}{8} \frac{- 1 + 3 i}{2}

3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

3 \frac{1}{8}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 8}

38 = 2

38

Fattorizzare il numero:

8 = 2^{3}

= 3 2^{3}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 2

= \frac{3 1}{2}

Applicare la regola

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 3 i}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 + 3 i) = - 1 + 3 i

1 \cdot (- 1 + 3 i)

Moltiplicare:

1 \cdot (- 1 + 3 i) = (- 1 + 3 i)

= (- 1 + 3 i)

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= - 1 + 3 i

= \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 3 i}{4}

Riscrivi

\frac{- 1 + 3 i}{4}

in forma complessa standard:

- \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

\frac{- 1 + 3 i}{4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

Semplifica

3 \frac{1}{8} \frac{- 1 - 3 i}{2} : - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

3 \frac{1}{8} \frac{- 1 - 3 i}{2}

3 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

3 \frac{1}{8}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3 1}{3 8}

38 = 2

38

Fattorizzare il numero:

8 = 2^{3}

= 3 2^{3}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3 2^{3} = 2

= 2

= \frac{3 1}{2}

Applicare la regola

n 1 = 1

31 = 1

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 - 3 i}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 - 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 - 3 i) = - 1 - 3 i

1 \cdot (- 1 - 3 i)

Moltiplicare:

1 \cdot (- 1 - 3 i) = (- 1 - 3 i)

= (- 1 - 3 i)

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= - 1 - 3 i

= \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 3 i}{4}

Riscrivi

\frac{- 1 - 3 i}{4}

in forma complessa standard:

- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

\frac{- 1 - 3 i}{4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{4} = - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Sostituire indietro

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (θ) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (θ) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4} :

Nessuna soluzione

sin (θ) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

Nessuna soluzione

sin (θ) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4} :

Nessuna soluzione

sin (θ) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

(cot(θ))/(sec(θ))=sin(θ)

\frac{cot ( θ )}{sec ( θ )} = sin (θ)

16sin(2x)=0

16 sin (2 x) = 0

cos(2α)+sin(α)=0

cos (2 α) + sin (α) = 0

sin(90-x)= 4/5

sin (9 0^{\circ} - x^{\circ}) = \frac{4}{5}

sin(x)=sin(80)

sin (x) = sin (8 0^{\circ})