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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(θ)-cos(θ)-1=0

Lösung

cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

Lösung

θ = 2.23703 \dots + 2 πn, θ = - 2.23703 \dots + 2 πn

+1

Grad

θ = 128.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 128.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

Löse mit Substitution

cos^{2} (θ) - cos (θ) - 1 = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

u^{2} - u - 1 = 0

u^{2} - u - 1 = 0 : u = \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}

u^{2} - u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Addiere die Zahlen:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1} : \frac{1 - 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 5}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{1 - 5}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1 + 5}{2}, cos (θ) = \frac{1 - 5}{2}

cos (θ) = \frac{1 + 5}{2}, cos (θ) = \frac{1 - 5}{2}

cos (θ) = \frac{1 + 5}{2} :

Keine Lösung

cos (θ) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = \frac{1 - 5}{2} : θ = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{1 - 5}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{1 - 5}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1 - 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{1 - 5}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2.23703 \dots + 2 πn, θ = - 2.23703 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3cot^2(x)-4csc(x)=1

3 cot^{2} (x) - 4 csc (x) = 1

cos(x)=sin(2x)+cos(3x)

cos (x) = sin (2 x) + cos (3 x)

tan(x)sec(x)-2tan(x)=0

tan (x) sec (x) - 2 tan (x) = 0

-9cos^2(θ)+9=17sin(θ)-8

- 9 cos^{2} (θ) + 9 = 17 sin (θ) - 8

4 tan^{2} (θ) - 9 = 0