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Popular Trigonometria >

(tan(θ)cot(θ))/(sec^2(θ))=cot(θ)

Solução

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} = cot (θ)

Solução

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para θ \in R

Passos da solução

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} = cot (θ)

Subtrair

cot (θ)

de ambos os lados

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} - cot (θ) = 0

Simplificar

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} - cot (θ) : \frac{tan ( θ ) cot ( θ ) - sec ^{2} ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

\frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} - cot (θ)

Converter para fração:

cot (θ) = \frac{cot ( θ ) sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} - \frac{cot ( θ ) sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( θ ) cot ( θ ) - cot ( θ ) sec ^{2} ( θ )}{sec ^{2} ( θ )}

\frac{tan ( θ ) cot ( θ ) - sec ^{2} ( θ ) cot ( θ )}{sec ^{2} ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

tan (θ) cot (θ) - sec^{2} (θ) cot (θ) = 0

Fatorar

tan (θ) cot (θ) - sec^{2} (θ) cot (θ) : cot (θ) (tan (θ) - sec^{2} (θ))

tan (θ) cot (θ) - sec^{2} (θ) cot (θ)

Fatorar o termo comum

cot (θ)

= cot (θ) (tan (θ) - sec^{2} (θ))

cot (θ) (tan (θ) - sec^{2} (θ)) = 0

Resolver cada parte separadamente

cot (θ) = 0 or tan (θ) - sec^{2} (θ) = 0

cot (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + πn

cot (θ) = 0

Soluções gerais para

cot (θ) = 0

cot (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

θ = \frac{π}{2} + πn

θ = \frac{π}{2} + πn

tan (θ) - sec^{2} (θ) = 0 :

Sem solução

tan (θ) - sec^{2} (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- sec^{2} (θ) + tan (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

sec^{2} (x) = tan^{2} (x) + 1

= - (tan^{2} (θ) + 1) + tan (θ)

- (tan^{2} (θ) + 1) : - tan^{2} (θ) - 1

- (tan^{2} (θ) + 1)

Colocar os parênteses

= - (tan^{2} (θ)) - (1)

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - tan^{2} (θ) - 1

= - tan^{2} (θ) - 1 + tan (θ)

- 1 + tan (θ) - tan^{2} (θ) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + tan (θ) - tan^{2} (θ) = 0

Sea:

tan (θ) = u

- 1 + u - u^{2} = 0

- 1 + u - u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

- 1 + u - u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} + u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

Simplificar

1^{2} - 4 (- 1) (- 1) : 3 i

1^{2} - 4 (- 1) (- 1)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 - 4

Subtrair:

1 - 4 = - 3

= - 3

Aplicar as propriedades dos radicais:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Aplicar as propriedades dos números complexos:

- 1 = i

= 3 i

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3 i}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 3 i}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3 i}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 3 i}{2 ( - 1 )} : \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

\frac{- 1 + 3 i}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3 i}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 3 i}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 3 i}{2}

Reescrever

- \frac{- 1 + 3 i}{2}

na forma complexa padrão:

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

- \frac{- 1 + 3 i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{2} = - (- \frac{1}{2}) - (\frac{3 i}{2})

= - (- \frac{1}{2}) - (\frac{3 i}{2})

Remover os parênteses:

(a) = a, - (- a) = a

= \frac{1}{2} - \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

u = \frac{- 1 - 3 i}{2 ( - 1 )} : \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

\frac{- 1 - 3 i}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3 i}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 3 i}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 - 3 i}{2}

Reescrever

- \frac{- 1 - 3 i}{2}

na forma complexa padrão:

\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

- \frac{- 1 - 3 i}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{2} = - (- \frac{1}{2}) - (- \frac{3 i}{2})

= - (- \frac{1}{2}) - (- \frac{3 i}{2})

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{1}{2} + \frac{3 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}, u = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Substituir na equação

u = tan (θ)

tan (θ) = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}, tan (θ) = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

tan (θ) = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}, tan (θ) = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

tan (θ) = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2} :

Sem solução

tan (θ) = \frac{1}{2} - i \frac{3}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

tan (θ) = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2} :

Sem solução

tan (θ) = \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

θ = \frac{π}{2} + πn

Dado que a equação é indefinida para:

\frac{π}{2} + πn

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para θ \in R

Gráfico

Exemplos populares

sin(y)=(sqrt(3))/2

9sin^2(x)+3cos(x)-7=0

3sec(2x+3)=4

sin(2x)+(sqrt(2))/2 =0

cos(θ)-sin(θ)=sqrt(2)