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Beliebt Trigonometrie >

sinh^2(x)=2sinh(x)cosh(x)

Lösung

sinh^{2} (x) = 2 sinh (x) cosh (x)

Lösung

x = 0

Grad

x = 0^{\circ}

Schritte zur Lösung

sinh^{2} (x) = 2 sinh (x) cosh (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sinh^{2} (x) = 2 sinh (x) cosh (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 sinh (x) cosh (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} cosh (x)

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} : x = 0

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

Wende Exponentenregel an

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2}

(\frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2}

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

(\frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2}

Löse

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} : u = - 1, u = 1

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2} = 2 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2}

Fasse zusammen

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ( u ^{2} + 1 )}{2 u ^{2}}

Kreuzmultiplizieren

\frac{( u ^{2} - 1 ) ^{2}}{4 u ^{2}} = \frac{( u ^{2} - 1 ) ( u ^{2} + 1 )}{2 u ^{2}}

Wende die Regeln für Multipikation bei Brüchen an: Wenn

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

dann

a \cdot d = b \cdot c

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Löse

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) : u = 0, u = - 1, u = 1

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Verschiebe

4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

auf die linke Seite

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Subtrahiere

4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

von beiden Seiten

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) = 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Vereinfache

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) = 0

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) = 0

Faktorisiere

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1) : - 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) (u^{2} + 3)

(u^{2} - 1)^{2} \cdot 2 u^{2} - 4 u^{2} (u^{2} - 1) (u^{2} + 1)

Faktorisiere

(u^{2} - 1)^{2} : (u + 1)^{2} (u - 1)^{2}

Faktorisiere

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= ((u + 1) (u - 1))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

= (u + 1)^{2} (u - 1)^{2}

Faktorisiere

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= 2 u^{2} (u + 1)^{2} (u - 1)^{2} - 4 u^{2} (u + 1) (u - 1) (u^{2} + 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u^{2} (u + 1) (u - 1)

= 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) ((u + 1) (u - 1) - 2 (u^{2} + 1))

Multipliziere aus

(u + 1) (u - 1) - 2 (u^{2} + 1) : - u^{2} - 3

(u + 1) (u - 1) - 2 (u^{2} + 1)

Multipliziere aus

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

= u^{2} - 1 - 2 (u^{2} + 1)

Multipliziere aus

- 2 (u^{2} + 1) : - 2 u^{2} - 2

- 2 (u^{2} + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 2, b = u^{2}, c = 1

= - 2 u^{2} + (- 2) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 2 u^{2} - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 u^{2} - 2

= u^{2} - 1 - 2 u^{2} - 2

Vereinfache

u^{2} - 1 - 2 u^{2} - 2 : - u^{2} - 3

u^{2} - 1 - 2 u^{2} - 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= u^{2} - 2 u^{2} - 1 - 2

Addiere gleiche Elemente:

u^{2} - 2 u^{2} = - u^{2}

= - u^{2} - 1 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 2 = - 3

= - u^{2} - 3

= - u^{2} - 3

= 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) (- u^{2} - 3)

Faktorisiere

- u^{2} - 3 : - (u^{2} + 3)

- u^{2} - 3

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (u^{2} + 3)

= - 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) (u^{2} + 3)

- 2 u^{2} (u + 1) (u - 1) (u^{2} + 3) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0 or u^{2} + 3 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Löse

u^{2} + 3 = 0 :

Keine Lösung für

u \in R

u^{2} + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u^{2} + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

u^{2} + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

u^{2} = - 3

u^{2} = - 3

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Die Lösungen sind

u = 0, u = - 1, u = 1

u = 0, u = - 1, u = 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

(\frac{u - u ^{- 1}}{2})^{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Nimm den/die Nenner von

2 \frac{u - u ^{- 1}}{2} \frac{u + u ^{- 1}}{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Da die Gleichung undefiniert ist für:

0

u = - 1, u = 1

u = - 1, u = 1

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = - 1 :

Keine Lösung für

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

darf nicht null oder negativ sein

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Löse

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 1

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Vereinfache

ln (1) : 0

ln (1)

Wende die log Regel an:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

x = 0

x = 0

Graph

Beliebte Beispiele

tan(3x)cot(x+40)=1

tan (3 x) cot (x + 4 0^{\circ}) = 1

2sin(x)cos(x)+sqrt(2)sin(x)=0

2 sin (x) cos (x) + 2 sin (x) = 0

4sin(θ)=2sqrt(3)

4 sin (θ) = 23

sin(x)=2sin(x)

sin (x) = 2 sin (x)

sin(2θ)=sqrt(2)sin(θ)

sin (2 θ) = 2 sin (θ)