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Popolare Trigonometria >

6sin(x)-5cos(x)=7

Soluzione

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

Soluzione

x = 2.72507 \dots + 2 πn, x = 1.80599 \dots + 2 πn

Gradi

x = 156.13507 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 103.47606 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

Aggiungi

5 cos (x)

ad entrambi i lati

6 sin (x) = 7 + 5 cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(6 sin (x))^{2} = (7 + 5 cos (x))^{2}

Sottrarre

(7 + 5 cos (x))^{2}

da entrambi i lati

36 sin^{2} (x) - 49 - 70 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) - 70 cos (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x)

Semplificare

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x) : - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) - 70 cos (x)

Espandi

36 (1 - cos^{2} (x)) : 36 - 36 cos^{2} (x)

36 (1 - cos^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 cos^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 cos^{2} (x)

= - 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x)

Semplifica

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x) : - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 49 - 25 cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x)

Raggruppa termini simili

= - 25 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 49 + 36

Aggiungi elementi simili:

- 25 cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 61 cos^{2} (x)

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 49 + 36

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 49 + 36 = - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

= - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) - 13

- 13 - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 13 - 61 cos^{2} (x) - 70 cos (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0 : u = - \frac{35 + 12 3}{61}, u = - \frac{35 - 12 3}{61}

- 13 - 61 u^{2} - 70 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 61 u^{2} - 70 u - 13 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 61 u^{2} - 70 u - 13 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 61, b = - 70, c = - 13

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm ( - 70 ) ^{2} - 4 ( - 61 ) ( - 13 )}{2 ( - 61 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm ( - 70 ) ^{2} - 4 ( - 61 ) ( - 13 )}{2 ( - 61 )}

(- 70)^{2} - 4 (- 61) (- 13) = 243

(- 70)^{2} - 4 (- 61) (- 13)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 70)^{2} - 4 \cdot 61 \cdot 13

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 70)^{2} = 7 0^{2}

= 7 0^{2} - 4 \cdot 61 \cdot 13

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 61 \cdot 13 = 3172

= 7 0^{2} - 3172

7 0^{2} = 4900

= 4900 - 3172

Sottrai i numeri:

4900 - 3172 = 1728

= 1728

Fattorizzazione prima di

1728 : 2^{6} \cdot 3^{3}

1728

1728

diviso per

21728 = 864 \cdot 2

= 2 \cdot 864

864

diviso per

2864 = 432 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 432

432

diviso per

2432 = 216 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 216

216

diviso per

2216 = 108 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 108

108

diviso per

2108 = 54 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54

54

diviso per

254 = 27 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

diviso per

327 = 9 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

diviso per

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{6} \cdot 3^{3}

= 2^{6} \cdot 3^{3}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 3

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 3 2^{6} 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 3 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 33

Affinare

= 243

u_{1, 2} = \frac{- ( - 70 ) \pm 24 3}{2 ( - 61 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )}, u_{2} = \frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )}

u = \frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )} : - \frac{35 + 12 3}{61}

\frac{- ( - 70 ) + 24 3}{2 ( - 61 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{70 + 24 3}{- 2 \cdot 61}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 61 = 122

= \frac{70 + 24 3}{- 122}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{70 + 24 3}{122}

Cancellare

\frac{70 + 24 3}{122} : \frac{35 + 12 3}{61}

\frac{70 + 24 3}{122}

Fattorizza

70 + 243 : 2 (35 + 123)

70 + 243

Riscrivi come

= 2 \cdot 35 + 2 \cdot 123

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (35 + 123)

= \frac{2 ( 35 + 12 3 )}{122}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{35 + 12 3}{61}

= - \frac{35 + 12 3}{61}

u = \frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )} : - \frac{35 - 12 3}{61}

\frac{- ( - 70 ) - 24 3}{2 ( - 61 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{70 - 24 3}{- 2 \cdot 61}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 61 = 122

= \frac{70 - 24 3}{- 122}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{70 - 24 3}{122}

Cancellare

\frac{70 - 24 3}{122} : \frac{35 - 12 3}{61}

\frac{70 - 24 3}{122}

Fattorizza

70 - 243 : 2 (35 - 123)

70 - 243

Riscrivi come

= 2 \cdot 35 - 2 \cdot 123

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (35 - 123)

= \frac{2 ( 35 - 12 3 )}{122}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{35 - 12 3}{61}

= - \frac{35 - 12 3}{61}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - \frac{35 + 12 3}{61}, u = - \frac{35 - 12 3}{61}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}, cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}, cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61} : x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{35 + 12 3}{61}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61} : x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{35 - 12 3}{61}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn :

Vero

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

Per

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

inserisci la

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

Affinare

7 = 7

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

Per

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

inserisci la

x = - arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

Affinare

2.14501 \dots = 7

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn :

Vero

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

Per

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

inserisci la

x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

Affinare

7 = 7

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn :

Falso

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Inserire in

n = 1

- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

Per

6 sin (x) - 5 cos (x) = 7

inserisci la

x = - arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1

6 sin (- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) - 5 cos (- arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 π 1) = 7

Affinare

- 4.66960 \dots = 7

\Rightarrow Falso

x = arccos (- \frac{35 + 12 3}{61}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{35 - 12 3}{61}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 2.72507 \dots + 2 πn, x = 1.80599 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

3sin^2(x)-7sin(x)=6

3 sin^{2} (x) - 7 sin (x) = 6

2cos^2(x)-sin^2(x)+1=0

2 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 1 = 0

-6sin(t)+6cos(2t)=0

- 6 sin (t) + 6 cos (2 t) = 0

cos^2(x)=4

cos^{2} (x) = 4

2*sin(x)=tan(x)

2 \cdot sin (x) = tan (x)