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sin^2(x)cos^2(x)=(2-sqrt(2))/(16)

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Solution

sin2(x)cos2(x)=162−2​​

Solution

x=0.19634…+2πn,x=π−0.19634…+2πn,x=−0.19634…+2πn,x=π+0.19634…+2πn,x=1.37444…+2πn,x=π−1.37444…+2πn,x=−1.37444…+2πn,x=π+1.37444…+2πn
+1
Degrés
x=11.25∘+360∘n,x=168.75∘+360∘n,x=−11.25∘+360∘n,x=191.25∘+360∘n,x=78.75∘+360∘n,x=101.25∘+360∘n,x=−78.75∘+360∘n,x=258.75∘+360∘n
étapes des solutions
sin2(x)cos2(x)=162−2​​
Soustraire 162−2​​ des deux côtéssin2(x)cos2(x)−82​2​−1​=0
Simplifier sin2(x)cos2(x)−82​2​−1​:82​82​sin2(x)cos2(x)−2​+1​
sin2(x)cos2(x)−82​2​−1​
Convertir un élément en fraction: sin2(x)cos2(x)=82​sin2(x)cos2(x)82​​=82​sin2(x)cos2(x)⋅82​​−82​2​−1​
Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions: ca​±cb​=ca±b​=82​sin2(x)cos2(x)⋅82​−(2​−1)​
Développer sin2(x)cos2(x)⋅82​−(2​−1):sin2(x)cos2(x)⋅82​−2​+1
sin2(x)cos2(x)⋅82​−(2​−1)
=82​sin2(x)cos2(x)−(2​−1)
−(2​−1):−2​+1
−(2​−1)
Distribuer des parenthèses=−(2​)−(−1)
Appliquer les règles des moins et des plus−(−a)=a,−(a)=−a=−2​+1
=sin2(x)cos2(x)⋅82​−2​+1
=82​82​sin2(x)cos2(x)−2​+1​
82​82​sin2(x)cos2(x)−2​+1​=0
g(x)f(x)​=0⇒f(x)=082​sin2(x)cos2(x)−2​+1=0
Récrire en utilisant des identités trigonométriques
1−2​+8cos2(x)sin2(x)2​
Utiliser l'identité hyperbolique: cos2(x)+sin2(x)=1cos2(x)=1−sin2(x)=1−2​+8(1−sin2(x))sin2(x)2​
1−2​+(1−sin2(x))⋅8sin2(x)2​=0
Résoudre par substitution
1−2​+(1−sin2(x))⋅8sin2(x)2​=0
Soit : sin(x)=u1−2​+(1−u2)⋅8u22​=0
1−2​+(1−u2)⋅8u22​=0:u=82​−2​64+322​​+16​​,u=−82​−2​64+322​​+16​​,u=82​2​64+322​​+16​​,u=−82​2​64+322​​+16​​
1−2​+(1−u2)⋅8u22​=0
Développer 1−2​+(1−u2)⋅8u22​:1−2​+82​u2−82​u4
1−2​+(1−u2)⋅8u22​
=1−2​+82​u2(1−u2)
Développer 8u22​(1−u2):82​u2−82​u4
8u22​(1−u2)
Appliquer la loi de la distribution: a(b−c)=ab−aca=8u22​,b=1,c=u2=8u22​⋅1−8u22​u2
=8⋅1⋅2​u2−82​u2u2
Simplifier 8⋅1⋅2​u2−82​u2u2:82​u2−82​u4
8⋅1⋅2​u2−82​u2u2
8⋅1⋅2​u2=82​u2
8⋅1⋅2​u2
Multiplier les nombres : 8⋅1=8=82​u2
82​u2u2=82​u4
82​u2u2
Appliquer la règle de l'exposant: ab⋅ac=ab+cu2u2=u2+2=82​u2+2
Additionner les nombres : 2+2=4=82​u4
=82​u2−82​u4
=82​u2−82​u4
=1−2​+82​u2−82​u4
1−2​+82​u2−82​u4=0
Ecrire sous la forme standard an​xn+…+a1​x+a0​=0−82​u4+82​u2+1−2​=0
Récrire l'équation avec v=u2 et v2=u4−82​v2+82​v+1−2​=0
Résoudre −82​v2+82​v+1−2​=0:v=32−2​64+322​​+16​,v=322​64+322​​+16​
−82​v2+82​v+1−2​=0
Résoudre par la formule quadratique
−82​v2+82​v+1−2​=0
Formule de l'équation quadratique:
Pour a=−82​,b=82​,c=1−2​v1,2​=2(−82​)−82​±(82​)2−4(−82​)(1−2​)​​
v1,2​=2(−82​)−82​±(82​)2−4(−82​)(1−2​)​​
(82​)2−4(−82​)(1−2​)​=64+322​​
(82​)2−4(−82​)(1−2​)​
Appliquer la règle −(−a)=a=(82​)2+4⋅82​(1−2​)​
(82​)2=82⋅2
(82​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (a⋅b)n=anbn=82(2​)2
(2​)2:2
Appliquer la règle des radicaux: a​=a21​=(221​)2
Appliquer la règle de l'exposant: (ab)c=abc=221​⋅2
21​⋅2=1
21​⋅2
Multiplier des fractions: a⋅cb​=ca⋅b​=21⋅2​
Annuler le facteur commun : 2=1
=2
=82⋅2
4⋅82​(1−2​)=322​(1−2​)
4⋅82​(1−2​)
Multiplier les nombres : 4⋅8=32=322​(1−2​)
=82⋅2+322​(1−2​)​
82⋅2=128
82⋅2
82=64=64⋅2
Multiplier les nombres : 64⋅2=128=128
=128+322​(1−2​)​
Développer 128+322​(1−2​):64+322​
128+322​(1−2​)
Développer 322​(1−2​):322​−64
322​(1−2​)
Appliquer la loi de la distribution: a(b−c)=ab−aca=322​,b=1,c=2​=322​⋅1−322​2​
=32⋅1⋅2​−322​2​
Simplifier 32⋅1⋅2​−322​2​:322​−64
32⋅1⋅2​−322​2​
32⋅1⋅2​=322​
32⋅1⋅2​
Multiplier les nombres : 32⋅1=32=322​
322​2​=64
322​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=32⋅2
Multiplier les nombres : 32⋅2=64=64
=322​−64
=322​−64
=128+322​−64
Soustraire les nombres : 128−64=64=64+322​
=64+322​​
v1,2​=2(−82​)−82​±64+322​​​
Séparer les solutionsv1​=2(−82​)−82​+64+322​​​,v2​=2(−82​)−82​−64+322​​​
v=2(−82​)−82​+64+322​​​:32−2​64+322​​+16​
2(−82​)−82​+64+322​​​
Retirer les parenthèses: (−a)=−a=−2⋅82​−82​+64+322​​​
Multiplier les nombres : 2⋅8=16=−162​−82​+64+322​​​
Appliquer la règle des fractions: −b−a​=ba​−82​+64+322​​=−(−64+322​​+82​)=162​−64+322​​+82​​
Simplifier 162​−64+322​​+82​​:32−2​64+322​​+16​
162​−64+322​​+82​​
Multiplier par le conjugué 2​2​​=162​2​(−64+322​​+82​)2​​
(−64+322​​+82​)2​=−2​64+322​​+16
(−64+322​​+82​)2​
=2​(−64+322​​+82​)
Appliquer la loi de la distribution: a(b+c)=ab+aca=2​,b=−64+322​​,c=82​=2​(−64+322​​)+2​⋅82​
Appliquer les règles des moins et des plus+(−a)=−a=−2​64+322​​+82​2​
82​2​=16
82​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=8⋅2
Multiplier les nombres : 8⋅2=16=16
=−2​64+322​​+16
162​2​=32
162​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=16⋅2
Multiplier les nombres : 16⋅2=32=32
=32−2​64+322​​+16​
=32−2​64+322​​+16​
v=2(−82​)−82​−64+322​​​:322​64+322​​+16​
2(−82​)−82​−64+322​​​
Retirer les parenthèses: (−a)=−a=−2⋅82​−82​−64+322​​​
Multiplier les nombres : 2⋅8=16=−162​−82​−64+322​​​
Appliquer la règle des fractions: −b−a​=ba​−82​−64+322​​=−(64+322​​+82​)=162​64+322​​+82​​
Simplifier 162​64+322​​+82​​:322​64+322​​+16​
162​64+322​​+82​​
Multiplier par le conjugué 2​2​​=162​2​(64+322​​+82​)2​​
(64+322​​+82​)2​=2​64+322​​+16
(64+322​​+82​)2​
=2​(64+322​​+82​)
Appliquer la loi de la distribution: a(b+c)=ab+aca=2​,b=64+322​​,c=82​=2​64+322​​+2​⋅82​
=2​64+322​​+82​2​
82​2​=16
82​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=8⋅2
Multiplier les nombres : 8⋅2=16=16
=2​64+322​​+16
162​2​=32
162​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=16⋅2
Multiplier les nombres : 16⋅2=32=32
=322​64+322​​+16​
=322​64+322​​+16​
Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :v=32−2​64+322​​+16​,v=322​64+322​​+16​
v=32−2​64+322​​+16​,v=322​64+322​​+16​
Resubstituer v=u2,résoudre pour u
Résoudre u2=32−2​64+322​​+16​:u=82​−2​64+322​​+16​​,u=−82​−2​64+322​​+16​​
u2=32−2​64+322​​+16​
Pour x2=f(a) les solutions sont x=f(a)​,−f(a)​
u=32−2​64+322​​+16​​,u=−32−2​64+322​​+16​​
32−2​64+322​​+16​​=82​−2​64+322​​+16​​
32−2​64+322​​+16​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=32​−2​64+322​​+16​​
32​=42​
32​
Factorisation première de 32:25
32
32divisée par 232=16⋅2=2⋅16
16divisée par 216=8⋅2=2⋅2⋅8
8divisée par 28=4⋅2=2⋅2⋅2⋅4
4divisée par 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2
2 est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible=2⋅2⋅2⋅2⋅2
=25
=25​
Appliquer la règle de l'exposant: ab+c=ab⋅ac=24⋅2​
Appliquer la règle des radicaux: nab​=na​nb​=2​24​
Appliquer la règle des radicaux: nam​=anm​24​=224​=22=222​
Redéfinir=42​
=42​−2​64+322​​+16​​
Simplifier 42​−2​64+322​​+16​​:82​−2​64+322​​+16​​
42​−2​64+322​​+16​​
Multiplier par le conjugué 2​2​​=42​2​−2​64+322​​+16​2​​
42​2​=8
42​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=4⋅2
Multiplier les nombres : 4⋅2=8=8
=82​−2​64+322​​+16​​
=82​−2​64+322​​+16​​
−32−2​64+322​​+16​​=−82​−2​64+322​​+16​​
−32−2​64+322​​+16​​
Simplifier 32−2​64+322​​+16​​:42​−2​64+322​​+16​​
32−2​64+322​​+16​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=32​−2​64+322​​+16​​
32​=42​
32​
Factorisation première de 32:25
32
32divisée par 232=16⋅2=2⋅16
16divisée par 216=8⋅2=2⋅2⋅8
8divisée par 28=4⋅2=2⋅2⋅2⋅4
4divisée par 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2
2 est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible=2⋅2⋅2⋅2⋅2
=25
=25​
Appliquer la règle de l'exposant: ab+c=ab⋅ac=24⋅2​
Appliquer la règle des radicaux: nab​=na​nb​=2​24​
Appliquer la règle des radicaux: nam​=anm​24​=224​=22=222​
Redéfinir=42​
=42​−2​64+322​​+16​​
=−42​−2​64+322​​+16​​
Simplifier −42​−2​64+322​​+16​​:−82​−2​64+322​​+16​​
−42​−2​64+322​​+16​​
Multiplier par le conjugué 2​2​​=−42​2​−2​64+322​​+16​2​​
42​2​=8
42​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=4⋅2
Multiplier les nombres : 4⋅2=8=8
=−82​−2​64+322​​+16​​
=−82​−2​64+322​​+16​​
u=82​−2​64+322​​+16​​,u=−82​−2​64+322​​+16​​
Résoudre u2=322​64+322​​+16​:u=82​2​64+322​​+16​​,u=−82​2​64+322​​+16​​
u2=322​64+322​​+16​
Pour x2=f(a) les solutions sont x=f(a)​,−f(a)​
u=322​64+322​​+16​​,u=−322​64+322​​+16​​
322​64+322​​+16​​=82​2​64+322​​+16​​
322​64+322​​+16​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=32​2​64+322​​+16​​
32​=42​
32​
Factorisation première de 32:25
32
32divisée par 232=16⋅2=2⋅16
16divisée par 216=8⋅2=2⋅2⋅8
8divisée par 28=4⋅2=2⋅2⋅2⋅4
4divisée par 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2
2 est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible=2⋅2⋅2⋅2⋅2
=25
=25​
Appliquer la règle de l'exposant: ab+c=ab⋅ac=24⋅2​
Appliquer la règle des radicaux: nab​=na​nb​=2​24​
Appliquer la règle des radicaux: nam​=anm​24​=224​=22=222​
Redéfinir=42​
=42​2​64+322​​+16​​
Simplifier 42​2​64+322​​+16​​:82​2​64+322​​+16​​
42​2​64+322​​+16​​
Multiplier par le conjugué 2​2​​=42​2​2​64+322​​+16​2​​
42​2​=8
42​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=4⋅2
Multiplier les nombres : 4⋅2=8=8
=82​2​64+322​​+16​​
=82​2​64+322​​+16​​
−322​64+322​​+16​​=−82​2​64+322​​+16​​
−322​64+322​​+16​​
Simplifier 322​64+322​​+16​​:42​2​64+322​​+16​​
322​64+322​​+16​​
Appliquer la règle des radicaux : nba​​=nb​na​​, en supposant a≥0,b≥0=32​2​64+322​​+16​​
32​=42​
32​
Factorisation première de 32:25
32
32divisée par 232=16⋅2=2⋅16
16divisée par 216=8⋅2=2⋅2⋅8
8divisée par 28=4⋅2=2⋅2⋅2⋅4
4divisée par 24=2⋅2=2⋅2⋅2⋅2⋅2
2 est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible=2⋅2⋅2⋅2⋅2
=25
=25​
Appliquer la règle de l'exposant: ab+c=ab⋅ac=24⋅2​
Appliquer la règle des radicaux: nab​=na​nb​=2​24​
Appliquer la règle des radicaux: nam​=anm​24​=224​=22=222​
Redéfinir=42​
=42​2​64+322​​+16​​
=−42​2​64+322​​+16​​
Simplifier −42​2​64+322​​+16​​:−82​2​64+322​​+16​​
−42​2​64+322​​+16​​
Multiplier par le conjugué 2​2​​=−42​2​2​64+322​​+16​2​​
42​2​=8
42​2​
Appliquer la règle des radicaux: a​a​=a2​2​=2=4⋅2
Multiplier les nombres : 4⋅2=8=8
=−82​2​64+322​​+16​​
=−82​2​64+322​​+16​​
u=82​2​64+322​​+16​​,u=−82​2​64+322​​+16​​
Les solutions sont
u=82​−2​64+322​​+16​​,u=−82​−2​64+322​​+16​​,u=82​2​64+322​​+16​​,u=−82​2​64+322​​+16​​
Remplacer u=sin(x)sin(x)=82​−2​64+322​​+16​​,sin(x)=−82​−2​64+322​​+16​​,sin(x)=82​2​64+322​​+16​​,sin(x)=−82​2​64+322​​+16​​
sin(x)=82​−2​64+322​​+16​​,sin(x)=−82​−2​64+322​​+16​​,sin(x)=82​2​64+322​​+16​​,sin(x)=−82​2​64+322​​+16​​
sin(x)=82​−2​64+322​​+16​​:x=arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π−arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn
sin(x)=82​−2​64+322​​+16​​
Appliquer les propriétés trigonométriques inverses
sin(x)=82​−2​64+322​​+16​​
Solutions générales pour sin(x)=82​−2​64+322​​+16​​sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πnx=arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π−arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn
x=arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π−arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn
sin(x)=−82​−2​64+322​​+16​​:x=arcsin​−82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π+arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn
sin(x)=−82​−2​64+322​​+16​​
Appliquer les propriétés trigonométriques inverses
sin(x)=−82​−2​64+322​​+16​​
Solutions générales pour sin(x)=−82​−2​64+322​​+16​​sin(x)=−a⇒x=arcsin(−a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin​−82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π+arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn
x=arcsin​−82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π+arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn
sin(x)=82​2​64+322​​+16​​:x=arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π−arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn
sin(x)=82​2​64+322​​+16​​
Appliquer les propriétés trigonométriques inverses
sin(x)=82​2​64+322​​+16​​
Solutions générales pour sin(x)=82​2​64+322​​+16​​sin(x)=a⇒x=arcsin(a)+2πn,x=π−arcsin(a)+2πnx=arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π−arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn
x=arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π−arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn
sin(x)=−82​2​64+322​​+16​​:x=arcsin​−82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π+arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn
sin(x)=−82​2​64+322​​+16​​
Appliquer les propriétés trigonométriques inverses
sin(x)=−82​2​64+322​​+16​​
Solutions générales pour sin(x)=−82​2​64+322​​+16​​sin(x)=−a⇒x=arcsin(−a)+2πn,x=π+arcsin(a)+2πnx=arcsin​−82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π+arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn
x=arcsin​−82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π+arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn
Combiner toutes les solutionsx=arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π−arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=arcsin​−82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π+arcsin​82​−2​64+322​​+16​​​+2πn,x=arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π−arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=arcsin​−82​2​64+322​​+16​​​+2πn,x=π+arcsin​82​2​64+322​​+16​​​+2πn
Montrer les solutions sous la forme décimalex=0.19634…+2πn,x=π−0.19634…+2πn,x=−0.19634…+2πn,x=π+0.19634…+2πn,x=1.37444…+2πn,x=π−1.37444…+2πn,x=−1.37444…+2πn,x=π+1.37444…+2πn

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Exemples populaires

(sin(x)-1)(sin(x)-5)=0(sin(x)−1)(sin(x)−5)=0csc(x)= 5/2csc(x)=25​csc(x)= 5/4csc(x)=45​3cos(2θ)=9cos(θ)-63cos(2θ)=9cos(θ)−63cosh(x)+5sinh(x)=-33cosh(x)+5sinh(x)=−3
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