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Popolare Trigonometria >

arctan(2x)+arctan(3x)= pi/4

Soluzione

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

Soluzione

x = \frac{1}{6}

Fasi della soluzione

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

arctan (2 x) + arctan (3 x)

Usa la formula della somma al prodotto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x})

arctan (\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x}) = \frac{π}{4}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arctan (\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x}) = \frac{π}{4}

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = tan (\frac{π}{4})

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

Usare la seguente identità triviale:

tan (\frac{π}{4}) = 1

tan (\frac{π}{4})

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= 1

= 1

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = 1

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = 1

Risolvi

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = 1 : x = - 1, x = \frac{1}{6}

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} = 1

Semplificare

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x} : \frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}}

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x}

Aggiungi elementi simili:

2 x + 3 x = 5 x

= \frac{5 x}{1 - 2 \cdot 3 xx}

1 - 2 x \cdot 3 x = 1 - 6 x^{2}

1 - 2 x \cdot 3 x

2 x \cdot 3 x = 6 x^{2}

2 x \cdot 3 x

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= 6 xx

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 6 x^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 6 x^{2}

= 1 - 6 x^{2}

= \frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}}

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

1 - 6 x^{2}

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

1 - 6 x^{2}

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} (1 - 6 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 6 x^{2})

Semplificare

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} (1 - 6 x^{2}) = 1 \cdot (1 - 6 x^{2})

Semplificare

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} (1 - 6 x^{2}) : 5 x

\frac{5 x}{1 - 6 x ^{2}} (1 - 6 x^{2})

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 x ( 1 - 6 x ^{2} )}{1 - 6 x ^{2}}

Cancella il fattore comune:

1 - 6 x^{2}

= 5 x

Semplificare

1 \cdot (1 - 6 x^{2}) : 1 - 6 x^{2}

1 \cdot (1 - 6 x^{2})

Moltiplicare:

1 \cdot (1 - 6 x^{2}) = (1 - 6 x^{2})

= (1 - 6 x^{2})

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= 1 - 6 x^{2}

5 x = 1 - 6 x^{2}

5 x = 1 - 6 x^{2}

5 x = 1 - 6 x^{2}

Risolvi

5 x = 1 - 6 x^{2} : x = - 1, x = \frac{1}{6}

5 x = 1 - 6 x^{2}

Scambia i lati

1 - 6 x^{2} = 5 x

Spostare

5 x

a sinistra dell'equazione

1 - 6 x^{2} = 5 x

Sottrarre

5 x

da entrambi i lati

1 - 6 x^{2} - 5 x = 5 x - 5 x

Semplificare

1 - 6 x^{2} - 5 x = 0

1 - 6 x^{2} - 5 x = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- 6 x^{2} - 5 x + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 6, b = - 5, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 1}{2 ( - 6 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 ( - 6 ) \cdot 1}{2 ( - 6 )}

(- 5)^{2} - 4 (- 6) \cdot 1 = 7

(- 5)^{2} - 4 (- 6) \cdot 1

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 6 \cdot 1 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Aggiungi i numeri:

25 + 24 = 49

= 49

Fattorizzare il numero:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

x_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 7}{2 ( - 6 )}

Separare le soluzioni

x_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 6 )}, x_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 6 )}

x = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 6 )} : - 1

\frac{- ( - 5 ) + 7}{2 ( - 6 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 + 7}{- 2 \cdot 6}

Aggiungi i numeri:

5 + 7 = 12

= \frac{12}{- 2 \cdot 6}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{12}{- 12}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{12}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

x = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 6 )} : \frac{1}{6}

\frac{- ( - 5 ) - 7}{2 ( - 6 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{5 - 7}{- 2 \cdot 6}

Sottrai i numeri:

5 - 7 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 6}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 2}{- 12}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{12}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{1}{6}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

x = - 1, x = \frac{1}{6}

x = - 1, x = \frac{1}{6}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{2 x + 3 x}{1 - 2 x \cdot 3 x}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - 2 x \cdot 3 x = 0 : x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

1 - 2 x \cdot 3 x = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - 2 x \cdot 3 x = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - 2 x \cdot 3 x - 1 = 0 - 1

Semplificare

- 2 x \cdot 3 x = - 1

- 2 x \cdot 3 x = - 1

Semplificare

- 6 x^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 6

\frac{- 6 x ^{2}}{- 6} = \frac{- 1}{- 6}

x^{2} = \frac{1}{6}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

\frac{1}{6} = \frac{1}{6}

\frac{1}{6}

Applicare la regola della radice:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{6}

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= \frac{1}{6}

- \frac{1}{6} = - \frac{1}{6}

- \frac{1}{6}

Applicare la regola della radice:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{1}{6}

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= - \frac{1}{6}

x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

I seguenti punti sono non definiti

x = \frac{1}{6}, x = - \frac{1}{6}

Combinare punti non definiti con soluzioni:

x = - 1, x = \frac{1}{6}

x = - 1, x = \frac{1}{6}

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

- 1 :

Falso

- 1

Inserire in

n = 1

- 1

Per

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

inserisci la

x = - 1

arctan (2 (- 1)) + arctan (3 (- 1)) = \frac{π}{4}

Affinare

- 2.35619 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{1}{6} :

Vero

\frac{1}{6}

Inserire in

n = 1

\frac{1}{6}

Per

arctan (2 x) + arctan (3 x) = \frac{π}{4}

inserisci la

x = \frac{1}{6}

arctan (2 \cdot \frac{1}{6}) + arctan (3 \cdot \frac{1}{6}) = \frac{π}{4}

Affinare

0.78539 \dots = 0.78539 \dots

\Rightarrow Vero

x = \frac{1}{6}

Grafico

Esempi popolari

2sec^2(x)-5sec(x)-2=0

2 sec^{2} (x) - 5 sec (x) - 2 = 0

2sin(t)cos(t)=sin(t)

2 sin (t) cos (t) = sin (t)

tan(2x)-1/(tan(x))=0

tan (2 x) - \frac{1}{tan ( x )} = 0

4sin(x)=cos(x)+2

4 sin (x) = cos (x) + 2

tan(β+10)=cot(2β-10)

tan (β + 1 0^{\circ}) = cot (2 β - 1 0^{\circ})