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Popular Trigonometria >

5sinh(2x)+3cosh(2x)=4

Solução

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Solução

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Graus

x = 5.39228 \dots^{\circ}

Passos da solução

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Reeecreva usando identidades trigonométricas

5 sinh (2 x) + 3 cosh (2 x) = 4

Use a identidade hiperbólica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 cosh (2 x) = 4

Use a identidade hiperbólica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4 : x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

Aplicar as propriedades dos expoentes

5 \cdot \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 4

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

5 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 4

5 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} - ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( e ^{x} ) ^{2} + ( e ^{x} ) ^{- 2}}{2} = 4

Reescrever a equação com

e^{x} = u

5 \cdot \frac{( u ) ^{2} - ( u ) ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{( u ) ^{2} + ( u ) ^{- 2}}{2} = 4

Resolver

5 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = 4 : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

5 \cdot \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \cdot \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2} = 4

Simplificar

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} = 4

Multiplicar ambos os lados por

2 u^{2}

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} = 4

Multiplicar ambos os lados por

2 u^{2}

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} = 4 \cdot 2 u^{2}

Simplificar

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} + \frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} = 4 \cdot 2 u^{2}

Simplificar

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} : 5 (u^{4} - 1)

\frac{5 ( u ^{4} - 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{5 ( u ^{4} - 1 ) \cdot 2 u ^{2}}{2 u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{5 ( u ^{4} - 1 ) u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

u^{2}

= 5 (u^{4} - 1)

Simplificar

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2} : 3 (u^{4} + 1)

\frac{3 ( u ^{4} + 1 )}{2 u ^{2}} \cdot 2 u^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 ( u ^{4} + 1 ) \cdot 2 u ^{2}}{2 u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{3 ( u ^{4} + 1 ) u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

u^{2}

= 3 (u^{4} + 1)

Simplificar

4 \cdot 2 u^{2} : 8 u^{2}

4 \cdot 2 u^{2}

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 = 8

= 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

Resolver

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2} : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) = 8 u^{2}

Expandir

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1) : 8 u^{4} - 2

5 (u^{4} - 1) + 3 (u^{4} + 1)

Expandir

5 (u^{4} - 1) : 5 u^{4} - 5

5 (u^{4} - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = u^{4}, c = 1

= 5 u^{4} - 5 \cdot 1

Multiplicar os números:

5 \cdot 1 = 5

= 5 u^{4} - 5

= 5 u^{4} - 5 + 3 (u^{4} + 1)

Expandir

3 (u^{4} + 1) : 3 u^{4} + 3

3 (u^{4} + 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = u^{4}, c = 1

= 3 u^{4} + 3 \cdot 1

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{4} + 3

= 5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3

Simplificar

5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3 : 8 u^{4} - 2

5 u^{4} - 5 + 3 u^{4} + 3

Agrupar termos semelhantes

= 5 u^{4} + 3 u^{4} - 5 + 3

Somar elementos similares:

5 u^{4} + 3 u^{4} = 8 u^{4}

= 8 u^{4} - 5 + 3

Somar/subtrair:

- 5 + 3 = - 2

= 8 u^{4} - 2

= 8 u^{4} - 2

8 u^{4} - 2 = 8 u^{2}

Mova

8 u^{2}

para o lado esquerdo

8 u^{4} - 2 = 8 u^{2}

Subtrair

8 u^{2}

de ambos os lados

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 8 u^{2} - 8 u^{2}

Simplificar

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 0

8 u^{4} - 2 - 8 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

8 u^{4} - 8 u^{2} - 2 = 0

Reescrever a equação com

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Resolver

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0 : v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

8 v^{2} - 8 v - 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 8, b = - 8, c = - 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 2 )}{2 \cdot 8}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 8 ( - 2 )}{2 \cdot 8}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 8 (- 2) = 82

(- 8)^{2} - 4 \cdot 8 (- 2)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 2

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 8 \cdot 2 = 64

= 8^{2} + 64

8^{2} = 64

= 64 + 64

Somar:

64 + 64 = 128

= 128

Decomposição em fatores primos de

128 : 2^{7}

128

128

dividida por

2128 = 64 \cdot 2

= 2 \cdot 64

64

dividida por

264 = 32 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 32

32

dividida por

232 = 16 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

dividida por

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{7}

= 2^{7}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{6}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 2

Simplificar

= 82

v_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 8 2}{2 \cdot 8}

Separe as soluções

v_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8}, v_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8}

v = \frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8} : \frac{1 + 2}{2}

\frac{- ( - 8 ) + 8 2}{2 \cdot 8}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{8 + 8 2}{2 \cdot 8}

Multiplicar os números:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{8 + 8 2}{16}

Fatorar

8 + 82 : 8 (1 + 2)

8 + 82

Reescrever como

= 8 \cdot 1 + 82

Fatorar o termo comum

8

= 8 (1 + 2)

= \frac{8 ( 1 + 2 )}{16}

Eliminar o fator comum:

8

= \frac{1 + 2}{2}

v = \frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8} : \frac{1 - 2}{2}

\frac{- ( - 8 ) - 8 2}{2 \cdot 8}

Aplicar a regra

- (- a) = a

= \frac{8 - 8 2}{2 \cdot 8}

Multiplicar os números:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{8 - 8 2}{16}

Fatorar

8 - 82 : 8 (1 - 2)

8 - 82

Reescrever como

= 8 \cdot 1 - 82

Fatorar o termo comum

8

= 8 (1 - 2)

= \frac{8 ( 1 - 2 )}{16}

Eliminar o fator comum:

8

= \frac{1 - 2}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

v = \frac{1 + 2}{2}, v = \frac{1 - 2}{2}

Substitua

v = u^{2},

solucione para

u

Resolver

u^{2} = \frac{1 + 2}{2} : u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u^{2} = \frac{1 + 2}{2}

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Resolver

u^{2} = \frac{1 - 2}{2} :

Sem solução para

u \in R

u^{2} = \frac{1 - 2}{2}

x^{2}

não pode ser negativa para

x \in R

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para u \in R

As soluções são

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

5 \frac{u ^{2} - u ^{- 2}}{2} + 3 \frac{u ^{2} + u ^{- 2}}{2}

e comparar com zero

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar a regra

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

u = \frac{1 + 2}{2}, u = - \frac{1 + 2}{2}

Substitua

u = e^{x},

solucione para

x

Resolver

e^{x} = \frac{1 + 2}{2} : x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

e^{x} = \frac{1 + 2}{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes

e^{x} = \frac{1 + 2}{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a = a^{\frac{1}{2}}

\frac{1 + 2}{2} = (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, então

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}}

Aplicar as propriedades dos logaritmos:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (\frac{1 + 2}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Resolver

e^{x} = - \frac{1 + 2}{2} :

Sem solução para

x \in R

e^{x} = - \frac{1 + 2}{2}

a^{f (x)}

não pode ser zero ou negativa para

x \in R

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

x = \frac{1}{2} ln (\frac{1 + 2}{2})

Gráfico

Exemplos populares

sin(x)=9

sin (x) = 9

csc(θ)=3

csc (θ) = 3

4sec(θ)=-5-tan^2(θ)

4 sec (θ) = - 5 - tan^{2} (θ)

cos(2x)=1-3sin(x)

cos (2 x) = 1 - 3 sin (x)

3sin(2t)+4=1,-pi/2 <= t<= pi/2

3 sin (2 t) + 4 = 1, - \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}