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Popular Trigonometria >

csc(x)-sin(x)=cot(x)*csc(x)

Solução

csc (x) - sin (x) = cot (x) \cdot csc (x)

Solução

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graus

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

csc (x) - sin (x) = cot (x) csc (x)

Subtrair

cot (x) csc (x)

de ambos os lados

csc (x) - sin (x) - cot (x) csc (x) = 0

Expresar com seno, cosseno

csc (x) - sin (x) - cot (x) csc (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - sin (x) - cot (x) \frac{1}{sin ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - sin (x) - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Simplificar

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )} : \frac{sin ( x ) - sin ^{3} ( x ) - cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x) - \frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} \cdot \frac{1}{sin ( x )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{cos ( x ) \cdot 1}{sin ( x ) sin ( x )}

Multiplicar:

cos (x) \cdot 1 = cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x )}

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - sin (x) - \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Converter para fração:

sin (x) = \frac{sin ( x )}{1}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{sin ( x )}{1} - \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (x), 1, sin^{2} (x) : sin^{2} (x)

sin (x), 1, sin^{2} (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes em ao menos uma das expressões fatoradas

= sin^{2} (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x)

\frac{1}{sin ( x )} = \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Para

\frac{sin ( x )}{1} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin^{2} (x)

\frac{sin ( x )}{1} = \frac{sin ( x ) sin ^{2} ( x )}{1 \cdot sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{3} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x )}{sin ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{3} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) - sin ^{3} ( x ) - cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sin ( x ) - sin ^{3} ( x ) - cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{- cos ( x ) + sin ( x ) - sin ^{3} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (x) + sin (x) - sin^{3} (x) = 0

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} = a^{2} a^{b - 2}

- cos (x) + sin (x) - sin (x) sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- cos (x) + sin (x) - sin (x) sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (x) + sin (x) - sin (x) (1 - cos^{2} (x))

Simplificar

- cos (x) + sin (x) - sin (x) (1 - cos^{2} (x)) : - cos (x) + cos^{2} (x) sin (x)

- cos (x) + sin (x) - sin (x) (1 - cos^{2} (x))

Expandir

- sin (x) (1 - cos^{2} (x)) : - sin (x) + cos^{2} (x) sin (x)

- sin (x) (1 - cos^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = - sin (x), b = 1, c = cos^{2} (x)

= - sin (x) \cdot 1 - (- sin (x)) cos^{2} (x)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a

= - 1 \cdot sin (x) + cos^{2} (x) sin (x)

Multiplicar:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= - sin (x) + cos^{2} (x) sin (x)

= - cos (x) + sin (x) - sin (x) + cos^{2} (x) sin (x)

Somar elementos similares:

sin (x) - sin (x) = 0

= - cos (x) + cos^{2} (x) sin (x)

= - cos (x) + cos^{2} (x) sin (x)

- cos (x) + cos^{2} (x) sin (x) = 0

Fatorar

- cos (x) + cos^{2} (x) sin (x) : cos (x) (- 1 + sin (x) cos (x))

- cos (x) + cos^{2} (x) sin (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin (x) cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= - cos (x) + cos (x) cos (x)

Fatorar o termo comum

cos (x)

= cos (x) (- 1 + sin (x) cos (x))

cos (x) (- 1 + sin (x) cos (x)) = 0

Resolver cada parte separadamente

cos (x) = 0 or - 1 + sin (x) cos (x) = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluções gerais para

cos (x) = 0

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 + sin (x) cos (x) = 0 :

Sem solução

- 1 + sin (x) cos (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + sin (x) cos (x)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 1 + \frac{sin ( 2 x )}{2}

- 1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

Mova

1

para o lado direito

- 1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

- 1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} + 1 = 0 + 1

Simplificar

\frac{sin ( 2 x )}{2} = 1

\frac{sin ( 2 x )}{2} = 1

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{sin ( 2 x )}{2} = 1

Multiplicar ambos os lados por

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = 1 \cdot 2

Simplificar

sin (2 x) = 2

sin (2 x) = 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(x)= 4/3

1=sin(t)+sqrt(3)cos(t)

cosh(x)= 5/4

sec(θ)-sqrt(2)tan(θ)=0

2sin(x-pi/3)=-sqrt(2)