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Popolare Trigonometria >

sinh(4x)= 3/4

Soluzione

sinh (4 x) = \frac{3}{4}

Soluzione

x = \frac{1}{4} ln (2)

Gradi

x = 9.92860 \dots^{\circ}

Fasi della soluzione

sinh (4 x) = \frac{3}{4}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sinh (4 x) = \frac{3}{4}

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{4 x} - e ^{- 4 x}}{2} = \frac{3}{4}

\frac{e ^{4 x} - e ^{- 4 x}}{2} = \frac{3}{4}

\frac{e ^{4 x} - e ^{- 4 x}}{2} = \frac{3}{4} : x = \frac{1}{4} ln (2)

\frac{e ^{4 x} - e ^{- 4 x}}{2} = \frac{3}{4}

Applica la moltiplicazione incrociata: se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

allora

a \cdot d = b \cdot c

(e^{4 x} - e^{- 4 x}) \cdot 4 = 2 \cdot 3

Semplificare

(e^{4 x} - e^{- 4 x}) \cdot 4 = 6

Applica le regole dell'esponente

(e^{4 x} - e^{- 4 x}) \cdot 4 = 6

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{4 x} = (e^{x})^{4}, e^{- 4 x} = (e^{x})^{- 4}

((e^{x})^{4} - (e^{x})^{- 4}) \cdot 4 = 6

((e^{x})^{4} - (e^{x})^{- 4}) \cdot 4 = 6

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

((u)^{4} - (u)^{- 4}) \cdot 4 = 6

Risolvi

(u^{4} - u^{- 4}) \cdot 4 = 6 : u = 2, u = - 2

(u^{4} - u^{- 4}) \cdot 4 = 6

Affinare

(u^{4} - \frac{1}{u ^{4}}) \cdot 4 = 6

Semplificare

(u^{4} - \frac{1}{u ^{4}}) \cdot 4 : 4 (u^{4} - \frac{1}{u ^{4}})

(u^{4} - \frac{1}{u ^{4}}) \cdot 4

Applica la legge commutativa:

(u^{4} - \frac{1}{u ^{4}}) \cdot 4 = 4 (u^{4} - \frac{1}{u ^{4}})

4 (u^{4} - \frac{1}{u ^{4}})

4 (u^{4} - \frac{1}{u ^{4}}) = 6

Espandere

4 (u^{4} - \frac{1}{u ^{4}}) : 4 u^{4} - \frac{4}{u ^{4}}

4 (u^{4} - \frac{1}{u ^{4}})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = u^{4}, c = \frac{1}{u ^{4}}

= 4 u^{4} - 4 \cdot \frac{1}{u ^{4}}

4 \cdot \frac{1}{u ^{4}} = \frac{4}{u ^{4}}

4 \cdot \frac{1}{u ^{4}}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{u ^{4}}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{u ^{4}}

= 4 u^{4} - \frac{4}{u ^{4}}

4 u^{4} - \frac{4}{u ^{4}} = 6

Moltiplica entrambi i lati per

u^{4}

4 u^{4} - \frac{4}{u ^{4}} = 6

Moltiplica entrambi i lati per

u^{4}

4 u^{4} u^{4} - \frac{4}{u ^{4}} u^{4} = 6 u^{4}

Semplificare

4 u^{4} u^{4} - \frac{4}{u ^{4}} u^{4} = 6 u^{4}

Semplificare

4 u^{4} u^{4} : 4 u^{8}

4 u^{4} u^{4}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{4} u^{4} = u^{4 + 4}

= 4 u^{4 + 4}

Aggiungi i numeri:

4 + 4 = 8

= 4 u^{8}

Semplificare

- \frac{4}{u ^{4}} u^{4} : - 4

- \frac{4}{u ^{4}} u^{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{4 u ^{4}}{u ^{4}}

Cancella il fattore comune:

u^{4}

= - 4

4 u^{8} - 4 = 6 u^{4}

4 u^{8} - 4 = 6 u^{4}

4 u^{8} - 4 = 6 u^{4}

Risolvi

4 u^{8} - 4 = 6 u^{4} : u = 2, u = - 2

4 u^{8} - 4 = 6 u^{4}

Spostare

6 u^{4}

a sinistra dell'equazione

4 u^{8} - 4 = 6 u^{4}

Sottrarre

6 u^{4}

da entrambi i lati

4 u^{8} - 4 - 6 u^{4} = 6 u^{4} - 6 u^{4}

Semplificare

4 u^{8} - 4 - 6 u^{4} = 0

4 u^{8} - 4 - 6 u^{4} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

4 u^{8} - 6 u^{4} - 4 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{4} = u^{8}

4 v^{4} - 6 v^{2} - 4 = 0

Risolvi

4 v^{4} - 6 v^{2} - 4 = 0 : v = 2, v = - 2

4 v^{4} - 6 v^{2} - 4 = 0

Riscrivi l'equazione con

u = v^{2}

u^{2} = v^{4}

4 u^{2} - 6 u - 4 = 0

Risolvi

4 u^{2} - 6 u - 4 = 0 : u = 2, u = - \frac{1}{2}

4 u^{2} - 6 u - 4 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 u^{2} - 6 u - 4 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = - 6, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 4 (- 4) = 10

(- 6)^{2} - 4 \cdot 4 (- 4)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 6)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 6^{2} + 64

6^{2} = 36

= 36 + 64

Aggiungi i numeri:

36 + 64 = 100

= 100

Fattorizzare il numero:

100 = 1 0^{2}

= 1 0^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

1 0^{2} = 10

= 10

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 10}{2 \cdot 4}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 10}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 10}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 6 ) + 10}{2 \cdot 4} : 2

\frac{- ( - 6 ) + 10}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{6 + 10}{2 \cdot 4}

Aggiungi i numeri:

6 + 10 = 16

= \frac{16}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{16}{8}

Dividi i numeri:

\frac{16}{8} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 6 ) - 10}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 6 ) - 10}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{6 - 10}{2 \cdot 4}

Sottrai i numeri:

6 - 10 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= - \frac{1}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 2, u = - \frac{1}{2}

u = 2, u = - \frac{1}{2}

Sostituisci

u = v^{2},

risolvi per

v

Risolvi

v^{2} = 2 : v = 2, v = - 2

v^{2} = 2

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

v = 2, v = - 2

Risolvi

v^{2} = - \frac{1}{2} :

Nessuna soluzione per

v \in R

v^{2} = - \frac{1}{2}

x^{2}

non può essere negativo per

x \in R

Nessuna soluzione per v \in R

Le soluzioni sono

v = 2, v = - 2

v = 2, v = - 2

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 2 : u = 2, u = - 2

u^{2} = 2

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 2, u = - 2

Risolvi

u^{2} = - 2 :

Nessuna soluzione per

u \in R

u^{2} = - 2

x^{2}

non può essere negativo per

x \in R

Nessuna soluzione per u \in R

Le soluzioni sono

u = 2, u = - 2

u = 2, u = - 2

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

(u^{4} - u^{- 4}) 4

e confrontare con zero

Risolvi

u^{4} = 0 : u = 0

u^{4} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 2, u = - 2

u = 2, u = - 2

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = 2 : x = \frac{1}{4} ln (2)

e^{x} = 2

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 2

Applica la regola degli esponenti:

a = a^{\frac{1}{2}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

e^{x} = (2)^{\frac{1}{2}}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(2)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}})

Applica la regola del logaritmo:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ln (2)

x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} ln (2)

Semplificare

x = \frac{1}{4} ln (2)

x = \frac{1}{4} ln (2)

Risolvi

e^{x} = - 2 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 2

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = - 2

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

2 = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = - 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}

e^{x} = - 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = \frac{1}{4} ln (2)

x = \frac{1}{4} ln (2)

Grafico

Esempi popolari

tan(x)+sec(x)=3

tan (x) + sec (x) = 3

2sin(pi/3-x)-1=0

2 sin (\frac{π}{3} - x) - 1 = 0

cos(θ)=-(11)/(sqrt(170))

cos (θ) = - \frac{11}{170}

sin(x)=cos^2(x)-sin^2(x)-1

sin (x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 1

tan((3x)/2+pi/2)=1

tan (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) = 1