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Beliebt Trigonometrie >

cos((5pi)/(12))cos(pi/4)+sin((5pi)/(12))sin(pi/4)

Lösung

cos (\frac{5 π}{12}) cos (\frac{π}{4}) + sin (\frac{5 π}{12}) sin (\frac{π}{4})

Lösung

\frac{3}{2}

Dezimale

0.86602 \dots

Schritte zur Lösung

cos (\frac{5 π}{12}) cos (\frac{π}{4}) + sin (\frac{5 π}{12}) sin (\frac{π}{4})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (\frac{π}{6})

cos (\frac{5 π}{12}) cos (\frac{π}{4}) + sin (\frac{5 π}{12}) sin (\frac{π}{4})

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t) = cos (s - t)

= cos (\frac{5 π}{12} - \frac{π}{4})

Vereinfache:

\frac{5 π}{12} - \frac{π}{4} = \frac{π}{6}

\frac{5 π}{12} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

12, 4 : 12

12, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

12

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{π}{4} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3

\frac{π}{4} = \frac{π 3}{4 \cdot 3} = \frac{π 3}{12}

= \frac{5 π}{12} - \frac{π 3}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 π - π 3}{12}

Addiere gleiche Elemente:

5 π - 3 π = 2 π

= \frac{2 π}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{6}

= cos (\frac{π}{6})

= cos (\frac{π}{6})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

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