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Beliebt Trigonometrie >

8.5cos((2pi)/3 (2.5-1.3))-35.5

Lösung

8.5 cos (\frac{2 π}{3} (2.5 - 1.3)) - 35.5

Lösung

\frac{- 17 5 - 301}{8}

Dezimale

- 42.37664 \dots

Schritte zur Lösung

8.5 cos (\frac{2 π}{3} (2.5 - 1.3)) - 35.5

= \frac{17}{2} cos (\frac{2 π}{3} (\frac{5}{2} - \frac{13}{10})) - \frac{71}{2}

Vereinfache:

\frac{2 π}{3} (\frac{5}{2} - \frac{13}{10}) = \frac{4 π}{5}

\frac{2 π}{3} (\frac{5}{2} - \frac{13}{10})

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 π ( \frac{5}{2} - \frac{13}{10} )}{3}

Füge

\frac{5}{2} - \frac{13}{10}

zusammen:

\frac{6}{5}

\frac{5}{2} - \frac{13}{10}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 10 : 10

2, 10

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

10 : 2 \cdot 5

10

10

ist durch

210 = 5 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 5

2, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 5

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

10

vorkommt

= 2 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= 10

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

10

Für

\frac{5}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

5

\frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{25}{10}

= \frac{25}{10} - \frac{13}{10}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 - 13}{10}

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 13 = 12

= \frac{12}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{6}{5}

= \frac{2 π \frac{6}{5}}{3}

Multipliziere

2 π \frac{6}{5} : \frac{12 π}{5}

2 π \frac{6}{5}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{6 \cdot 2 π}{5}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{12 π}{5}

= \frac{\frac{12 π}{5}}{3}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{12 π}{5 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 3 = 15

= \frac{12 π}{15}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= \frac{4 π}{5}

\frac{17}{2} cos (\frac{4 π}{5}) - \frac{71}{2} = \frac{17 cos ( \frac{4 π}{5} ) - 71}{2}

\frac{17}{2} cos (\frac{4 π}{5}) - \frac{71}{2}

Multipliziere

\frac{17}{2} cos (\frac{4 π}{5}) : \frac{17 cos ( \frac{4 π}{5} )}{2}

\frac{17}{2} cos (\frac{4 π}{5})

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{17 cos ( \frac{4 π}{5} )}{2}

= \frac{17 cos ( \frac{4 π}{5} )}{2} - \frac{71}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{17 cos ( \frac{4 π}{5} ) - 71}{2}

= \frac{17 cos ( \frac{4 π}{5} ) - 71}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (\frac{4 π}{5}) = - \frac{5 + 1}{4}

cos (\frac{4 π}{5})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

- cos (\frac{π}{5})

cos (\frac{4 π}{5})

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = - cos (π - x)

= - cos (π - \frac{4 π}{5})

Vereinfache:

π - \frac{4 π}{5} = \frac{π}{5}

π - \frac{4 π}{5}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 5}{5}

= \frac{π 5}{5} - \frac{4 π}{5}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 5 - 4 π}{5}

Addiere gleiche Elemente:

5 π - 4 π = π

= \frac{π}{5}

= - cos (\frac{π}{5})

= - cos (\frac{π}{5})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

cos (\frac{π}{5})

Zeige dass:

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Verwende das folgende Produkt, um die Summe der Identitäten zu finden:

2 sin (x) cos (y) = sin (x + y) - sin (x - y)

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

Zeige dass:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Teile beide Seiten durch

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Teile beide Seiten durch

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Teile beide Seiten durch

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Ersetze

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

\frac{1}{2} = sin (\frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

sin (\frac{3 π}{10}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{10}) - sin (\frac{π}{10})

\frac{1}{2} = cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})

Zeige dass:

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Wende die Faktorisierungsregel an:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) ((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10})))

Fasse zusammen

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 2 (2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}))

Zeige dass:

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

sin (\frac{2 π}{5}) = 2 sin (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) sin (\frac{π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Teile beide Seiten durch

sin (\frac{π}{5})

sin (\frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (x) = cos (\frac{π}{2} - x)

sin (\frac{2 π}{5}) = cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5})

cos (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{5}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

cos (\frac{π}{10}) = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5}) cos (\frac{π}{10})

Teile beide Seiten durch

cos (\frac{π}{10})

1 = 4 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Teile beide Seiten durch

2

\frac{1}{2} = 2 sin (\frac{π}{10}) cos (\frac{π}{5})

Ersetze

2 cos (\frac{π}{5}) sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))^{2} = 1

Ersetze

cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}) = \frac{1}{2}

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = 1

Fasse zusammen

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} = 1

Füge

\frac{1}{4}

zu beiden Seiten hinzu

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}

Fasse zusammen

(cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}))^{2} = \frac{5}{4}

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \pm \frac{5}{4}

cos (\frac{π}{5})

darf nicht negativ sein

sin (\frac{π}{10})

darf nicht negativ sein

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{4}

Füge die folgenden Gleichungen hinzu

cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10}) = \frac{5}{2}

((cos (\frac{π}{5}) + sin (\frac{π}{10})) + (cos (\frac{π}{5}) - sin (\frac{π}{10}))) = (\frac{5}{2} + \frac{1}{2})

Fasse zusammen

cos (\frac{π}{5}) = \frac{5 + 1}{4}

= \frac{5 + 1}{4}

= - \frac{5 + 1}{4}

= \frac{17 ( - \frac{5 + 1}{4} ) - 71}{2}

Vereinfache

\frac{17 ( - \frac{5 + 1}{4} ) - 71}{2} : \frac{- 17 5 - 301}{8}

\frac{17 ( - \frac{5 + 1}{4} ) - 71}{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 17 \cdot \frac{5 + 1}{4} - 71}{2}

Multipliziere

17 \cdot \frac{5 + 1}{4} : \frac{17 ( 1 + 5 )}{4}

17 \cdot \frac{5 + 1}{4}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 5 + 1 ) \cdot 17}{4}

= \frac{- \frac{17 ( 1 + 5 )}{4} - 71}{2}

Füge

- \frac{( 5 + 1 ) \cdot 17}{4} - 71

zusammen:

\frac{- 17 5 - 301}{4}

- \frac{( 5 + 1 ) \cdot 17}{4} - 71

Wandle das Element in einen Bruch um:

71 = \frac{71 \cdot 4}{4}

= - \frac{( 5 + 1 ) \cdot 17}{4} - \frac{71 \cdot 4}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- ( 5 + 1 ) \cdot 17 - 71 \cdot 4}{4}

Multipliziere die Zahlen:

71 \cdot 4 = 284

= \frac{- 17 ( 1 + 5 ) - 284}{4}

Multipliziere aus

- (5 + 1) \cdot 17 - 284 : - 175 - 301

- (5 + 1) \cdot 17 - 284

= - 17 (5 + 1) - 284

Multipliziere aus

- 17 (5 + 1) : - 175 - 17

- 17 (5 + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 17, b = 5, c = 1

= - 175 + (- 17) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 175 - 17 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

17 \cdot 1 = 17

= - 175 - 17

= - 175 - 17 - 284

Subtrahiere die Zahlen:

- 17 - 284 = - 301

= - 175 - 301

= \frac{- 17 5 - 301}{4}

= \frac{\frac{- 17 5 - 301}{4}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- 17 5 - 301}{4 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{- 17 5 - 301}{8}

= \frac{- 17 5 - 301}{8}

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