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Beliebt Trigonometrie >

sinh(ln(2)+pi/2 i)

Lösung

sinh (ln (2) + \frac{π}{2} i)

Lösung

\frac{3 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + i \frac{5 sin ( \frac{π}{2} )}{4}

Schritte zur Lösung

sinh (ln (2) + \frac{π}{2} i)

Vereinfache

sinh (ln (2) + \frac{π}{2} i) : sinh (\frac{2 ln ( 2 ) + πi}{2})

sinh (ln (2) + \frac{π}{2} i)

Multipliziere

\frac{π}{2} i : \frac{πi}{2}

\frac{π}{2} i

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{πi}{2}

= sinh (ln (2) + \frac{πi}{2})

Füge

ln (2) + \frac{πi}{2}

zusammen:

\frac{2 ln ( 2 ) + πi}{2}

ln (2) + \frac{πi}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

ln (2) = \frac{ln ( 2 ) 2}{2}

= \frac{ln ( 2 ) \cdot 2}{2} + \frac{πi}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{ln ( 2 ) \cdot 2 + πi}{2}

= sinh (\frac{ln ( 2 ) \cdot 2 + πi}{2})

= sinh (\frac{2 ln ( 2 ) + πi}{2})

= sinh (\frac{2 ln ( 2 ) + πi}{2})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{3 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + i \frac{5 sin ( \frac{π}{2} )}{4}

sinh (\frac{2 ln ( 2 ) + πi}{2})

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

= \frac{e ^{\frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}} - e ^{- \frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}}}{2}

Vereinfache

\frac{e ^{\frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}} - e ^{- \frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}}}{2} : \frac{- cos ( - \frac{π}{2} ) + 4 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + i \frac{- sin ( - \frac{π}{2} ) + 4 sin ( \frac{π}{2} )}{4}

\frac{e ^{\frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}} - e ^{- \frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}}}{2}

e^{\frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}} - e^{- \frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}} = e^{l n (2)} (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2})) - e^{- l n (2)} (cos (- \frac{π}{2}) + i sin (- \frac{π}{2}))

e^{\frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}} - e^{- \frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{l n (2)} (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2})) - e^{- \frac{2 l n ( 2 ) + πi}{2}}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

e^{a + ib} = e^{a} (cos (b) + i sin (b))

= e^{l n (2)} (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2})) - e^{- l n (2)} (cos (- \frac{π}{2}) + i sin (- \frac{π}{2}))

= \frac{e ^{l n (2)} ( cos ( \frac{π}{2} ) + i sin ( \frac{π}{2} ) ) - e ^{- l n (2)} ( cos ( - \frac{π}{2} ) + i sin ( - \frac{π}{2} ) )}{2}

e^{l n (2)} (cos (\frac{π}{2}) + sin (\frac{π}{2}) i) = 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

e^{l n (2)} (cos (\frac{π}{2}) + sin (\frac{π}{2}) i)

e^{l n (2)} = 2

e^{l n (2)}

Wende die log Regel an:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= 2

= 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

e^{- l n (2)} (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i) = \frac{cos ( - \frac{π}{2} ) + i sin ( - \frac{π}{2} )}{2}

e^{- l n (2)} (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i)

Wende Exponentenregel an:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

e^{- l n (2)} = \frac{1}{e ^{l n (2)}}

= \frac{1}{e ^{l n (2)}} (cos (- \frac{π}{2}) + i sin (- \frac{π}{2}))

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( cos ( - \frac{π}{2} ) + sin ( - \frac{π}{2} ) i )}{e ^{l n (2)}}

1 \cdot (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i) = cos (- \frac{π}{2}) + i sin (- \frac{π}{2})

1 \cdot (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i)

Multipliziere:

1 \cdot (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i) = (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i)

= (cos (- \frac{π}{2}) + i sin (- \frac{π}{2}))

Entferne die Klammern:

(a) = a

= cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i

= \frac{cos ( - \frac{π}{2} ) + i sin ( - \frac{π}{2} )}{e ^{l n (2)}}

e^{l n (2)} = 2

e^{l n (2)}

Wende die log Regel an:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= 2

= \frac{cos ( - \frac{π}{2} ) + i sin ( - \frac{π}{2} )}{2}

= \frac{2 ( cos ( \frac{π}{2} ) + i sin ( \frac{π}{2} ) ) - \frac{c o s ( - \frac{π}{2} ) + i s i n ( - \frac{π}{2} )}{2}}{2}

Füge

2 (cos (\frac{π}{2}) + sin (\frac{π}{2}) i) - \frac{cos ( - \frac{π}{2} ) + sin ( - \frac{π}{2} ) i}{2}

zusammen:

\frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) + 4 i sin ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} ) - i sin ( - \frac{π}{2} )}{2}

2 (cos (\frac{π}{2}) + sin (\frac{π}{2}) i) - \frac{cos ( - \frac{π}{2} ) + sin ( - \frac{π}{2} ) i}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2})) = \frac{2 ( cos ( \frac{π}{2} ) + sin ( \frac{π}{2} ) i ) 2}{2}

= \frac{2 ( cos ( \frac{π}{2} ) + sin ( \frac{π}{2} ) i ) \cdot 2}{2} - \frac{cos ( - \frac{π}{2} ) + sin ( - \frac{π}{2} ) i}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 ( cos ( \frac{π}{2} ) + sin ( \frac{π}{2} ) i ) \cdot 2 - ( cos ( - \frac{π}{2} ) + sin ( - \frac{π}{2} ) i )}{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 ( cos ( \frac{π}{2} ) + i sin ( \frac{π}{2} ) ) - ( cos ( - \frac{π}{2} ) + i sin ( - \frac{π}{2} ) )}{2}

Multipliziere aus

4 (cos (\frac{π}{2}) + sin (\frac{π}{2}) i) - (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i) : 4 cos (\frac{π}{2}) + 4 i sin (\frac{π}{2}) - cos (- \frac{π}{2}) - sin (- \frac{π}{2}) i

4 (cos (\frac{π}{2}) + sin (\frac{π}{2}) i) - (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i)

= 4 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2})) - (cos (- \frac{π}{2}) + i sin (- \frac{π}{2}))

Multipliziere aus

4 (cos (\frac{π}{2}) + sin (\frac{π}{2}) i) : 4 cos (\frac{π}{2}) + 4 i sin (\frac{π}{2})

4 (cos (\frac{π}{2}) + sin (\frac{π}{2}) i)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = cos (\frac{π}{2}), c = sin (\frac{π}{2}) i

= 4 cos (\frac{π}{2}) + 4 sin (\frac{π}{2}) i

= 4 cos (\frac{π}{2}) + 4 i sin (\frac{π}{2})

= 4 cos (\frac{π}{2}) + 4 i sin (\frac{π}{2}) - (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i)

- (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i) : - cos (- \frac{π}{2}) - sin (- \frac{π}{2}) i

- (cos (- \frac{π}{2}) + sin (- \frac{π}{2}) i)

Setze Klammern

= - (cos (- \frac{π}{2})) - (sin (- \frac{π}{2}) i)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - cos (- \frac{π}{2}) - sin (- \frac{π}{2}) i

= 4 cos (\frac{π}{2}) + 4 i sin (\frac{π}{2}) - cos (- \frac{π}{2}) - sin (- \frac{π}{2}) i

= \frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) + 4 i sin ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} ) - i sin ( - \frac{π}{2} )}{2}

= \frac{\frac{4 c o s ( \frac{π}{2} ) + 4 i s i n ( \frac{π}{2} ) - c o s ( - \frac{π}{2} ) - i s i n ( - \frac{π}{2} )}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) + 4 i sin ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} ) i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) + 4 i sin ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} ) - i sin ( - \frac{π}{2} )}{4}

Schreibe

\frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) + 4 i sin ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} ) i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} )}{4} + \frac{4 sin ( \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} )}{4} i

\frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) + 4 i sin ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} ) i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) + 4 i sin ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} ) i}{4} = \frac{4 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + \frac{4 i sin ( \frac{π}{2} )}{4} - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4} - \frac{sin ( - \frac{π}{2} ) i}{4}

= \frac{4 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + \frac{4 i sin ( \frac{π}{2} )}{4} - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4} - \frac{i sin ( - \frac{π}{2} )}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= \frac{4 cos ( \frac{π}{2} )}{4} - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4} + \frac{4 i sin ( \frac{π}{2} )}{4} - \frac{i sin ( - \frac{π}{2} )}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= cos (\frac{π}{2}) - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4} + i sin (\frac{π}{2}) - \frac{i sin ( - \frac{π}{2} )}{4}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (cos (\frac{π}{2}) - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4}) + (sin (\frac{π}{2}) - \frac{sin ( - \frac{π}{2} )}{4}) i

sin (\frac{π}{2}) - \frac{sin ( - \frac{π}{2} )}{4} = \frac{4 sin ( \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} )}{4}

sin (\frac{π}{2}) - \frac{sin ( - \frac{π}{2} )}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (\frac{π}{2}) = \frac{sin ( \frac{π}{2} ) 4}{4}

= \frac{sin ( \frac{π}{2} ) \cdot 4}{4} - \frac{sin ( - \frac{π}{2} )}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( \frac{π}{2} ) \cdot 4 - sin ( - \frac{π}{2} )}{4}

= (cos (\frac{π}{2}) - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4}) + \frac{4 sin ( \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} )}{4} i

cos (\frac{π}{2}) - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4} = \frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} )}{4}

cos (\frac{π}{2}) - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (\frac{π}{2}) = \frac{cos ( \frac{π}{2} ) 4}{4}

= \frac{cos ( \frac{π}{2} ) \cdot 4}{4} - \frac{cos ( - \frac{π}{2} )}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( \frac{π}{2} ) \cdot 4 - cos ( - \frac{π}{2} )}{4}

= \frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} )}{4} + \frac{4 sin ( \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} )}{4} i

= \frac{4 cos ( \frac{π}{2} ) - cos ( - \frac{π}{2} )}{4} + \frac{4 sin ( \frac{π}{2} ) - sin ( - \frac{π}{2} )}{4} i

= \frac{- cos ( - \frac{π}{2} ) + 4 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + i \frac{- sin ( - \frac{π}{2} ) + 4 sin ( \frac{π}{2} )}{4}

Verwende die folgende Eigenschaft:

sin (- x) = - sin (x)

sin (- \frac{π}{2}) = - sin (\frac{π}{2})

= \frac{- cos ( - \frac{π}{2} ) + 4 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + i \frac{- ( - sin ( \frac{π}{2} ) ) + 4 sin ( \frac{π}{2} )}{4}

Verwende die folgende Eigenschaft:

cos (- x) = cos (x)

cos (- \frac{π}{2}) = cos (\frac{π}{2})

= \frac{- cos ( \frac{π}{2} ) + 4 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + i \frac{- ( - sin ( \frac{π}{2} ) ) + 4 sin ( \frac{π}{2} )}{4}

Vereinfache

= \frac{3 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + i \frac{5 sin ( \frac{π}{2} )}{4}

= \frac{3 cos ( \frac{π}{2} )}{4} + i \frac{5 sin ( \frac{π}{2} )}{4}

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