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受欢迎的三角函数 >

2cos^2(x)-3cos(x)-2>= 0

解答

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) - 2 \geq 0

解答

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

+2

间隔符号

[\frac{2 π}{3} + 2 πn, \frac{4 π}{3} + 2 πn]

十进制

2.09439 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.18879 \dots + 2 πn

求解步骤

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) - 2 \geq 0

令

: u = cos (x)

2 u^{2} - 3 u - 2 \geq 0

2 u^{2} - 3 u - 2 \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

2 u^{2} - 3 u - 2 \geq 0

分解

2 u^{2} - 3 u - 2 : (2 u + 1) (u - 2)

2 u^{2} - 3 u - 2

将表达式拆分成组

2 u^{2} - 3 u - 2

定义

4

的因数:

1, 2, 4

4

约数 (因数)

找到

4

的质因数:

2, 2

4

4

除以

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

2

是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2

添加质因数:

2

将 1 和数字

4

自身相加

1, 4

4

的因数

1, 2, 4

4

的负因数:

- 1, - 2, - 4

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2, - 4

对于每两个因数

u * v = - 4

，检验是否

u + v = - 3

检验

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

真检验

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

假

u = 1, v = - 4

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 4 u - 2)

= (2 u^{2} + u) + (- 4 u - 2)

从

2 u^{2} + u

分解出因式

u

:

u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

因式分解出通项

u

= u (2 u + 1)

从

- 4 u - 2

分解出因式

- 2

:

- 2 (2 u + 1)

- 4 u - 2

将

4

改写为

2 \cdot 2

= - 2 \cdot 2 u - 2

因式分解出通项

- 2

= - 2 (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - 2 (2 u + 1)

因式分解出通项

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 2)

(2 u + 1) (u - 2) \geq 0

确定区间

确定

(2 u + 1) (u - 2)

符号

确定

2 u + 1

符号

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

将

1

到右边

2 u + 1 = 0

两边减去

1

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

2 u = - 1

2 u = - 1

两边除以

2

2 u = - 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

化简

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

将

1

到右边

2 u + 1 < 0

两边减去

1

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

2 u < - 1

2 u < - 1

两边除以

2

2 u < - 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

化简

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

将

1

到右边

2 u + 1 > 0

两边减去

1

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

2 u > - 1

2 u > - 1

两边除以

2

2 u > - 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

化简

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

确定

u - 2

符号

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

将

2

到右边

u - 2 = 0

两边加上

2

u - 2 + 2 = 0 + 2

化简

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

将

2

到右边

u - 2 < 0

两边加上

2

u - 2 + 2 < 0 + 2

化简

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

将

2

到右边

u - 2 > 0

两边加上

2

u - 2 + 2 > 0 + 2

化简

u > 2

u > 2

总结如下表：

2 u + 1 u - 2 (2 u + 1) (u - 2) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 2 or u > 2

合并重叠的区间

u \leq - \frac{1}{2} or u = 2 or u > 2

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u < - \frac{1}{2}

or

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - \frac{1}{2}

or

u = 2

u \leq - \frac{1}{2} or u = 2

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - \frac{1}{2} or u = 2

or

u > 2

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 2

u = cos (x)

代回

cos (x) \leq - \frac{1}{2} or cos (x) \geq 2

cos (x) \leq - \frac{1}{2} : \frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq - \frac{1}{2}

对于

cos (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- \frac{1}{2}) + 2 πn

化简

arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{2 π}{3}

arccos (- \frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{2 π}{3}

化简

2 π - arccos (- \frac{1}{2}) : \frac{4 π}{3}

2 π - arccos (- \frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{2 π}{3}

化简

2 π - \frac{2 π}{3}

将项转换为分式:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{2 π}{3}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - 2 π}{3}

2 π 3 - 2 π = 4 π

2 π 3 - 2 π

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - 2 π

同类项相加:

6 π - 2 π = 4 π

= 4 π

= \frac{4 π}{3}

= \frac{4 π}{3}

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

对所有

x \in R

为假

cos (x) \geq 2

cos (x)

的值域:

- 1 \leq cos (x) \leq 1

函数值域定义

基本

cos

函数的值域为

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

假

令

y = cos (x)

合并区间

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \geq 2

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

合并区间

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

\frac{2 π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{4 π}{3} + 2 πn

流行的例子

cos((x-45))< 1/2 ,0<= x<= 360

cos ((x - 45)^{\circ}) < \frac{1}{2}, 0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}

cos(x)<= (sqrt(2))/2

cos (x) \leq \frac{2}{2}

cos(φ)<= (sqrt(2))/2

cos (φ) \leq \frac{2}{2}

2 cos (y) > 0

cos(2x)<=-(sqrt(3))/2

cos (2 x) \leq - \frac{3}{2}