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dimostrare (sec(x))/(csc^2(x))=sec(x)-cos(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{sec ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sec (x) - cos (x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sec ( x )}{csc ^{2} ( x )} = sec (x) - cos (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{sec ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Esprimere con sen e cos

\frac{sec ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{csc ^{2} ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Semplifica

\frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ( x ) ( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )} cos ( x )}

Moltiplicare

cos (x) \frac{1}{sin ^{2} ( x )} : \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

cos (x) \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Moltiplicare:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{c o s ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Manipolando il lato destro

sec (x) - cos (x)

Esprimere con sen e cos

- cos (x) + sec (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}

Semplifica

- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )} : \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

- cos (x) + \frac{1}{cos ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} + \frac{1}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) cos ( x ) + 1}{cos ( x )}

- cos (x) cos (x) + 1 = - cos^{2} (x) + 1

- cos (x) cos (x) + 1

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{- cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ( x )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e (1 - cos (x)) = cos (x) - 1

p ro v e cos^{2} (x) = 1 + cos (2 x)

p ro v e sec (\frac{π}{4} + x) sec (\frac{π}{4} - x) = 2 sec (2 x)

p ro v e 2 sin^{3} (x) cos (x) + 2 sin (x) cos^{3} (x) = sin (2 x)

p ro v e tan^{2} (α) (1 - sin^{2} (α)) = sin^{2} (α)