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dimostrare (sin^2(x)-1)^2=cos(2x)+sin^4(x)

Soluzione

dimostrare

(sin^{2} (x) - 1)^{2} = cos (2 x) + sin^{4} (x)

Vero

Fasi della soluzione

(sin^{2} (x) - 1)^{2} = cos (2 x) + sin^{4} (x)

Manipolando il lato sinistro

(sin^{2} (x) - 1)^{2}

Espandi

(- 1 + sin^{2} (x))^{2} : 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

(- 1 + sin^{2} (x))^{2}

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 1, b = sin^{2} (x)

= (- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

Semplifica

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2} : 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

(- 1)^{2} + 2 (- 1) sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= (- 1)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x) + (sin^{2} (x))^{2}

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x) = 2 sin^{2} (x)

2 \cdot 1 \cdot sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin^{2} (x)

(sin^{2} (x))^{2} = sin^{4} (x)

(sin^{2} (x))^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= sin^{2 \cdot 2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 + sin^{4} (x) - 2 sin^{2} (x)

Manipolando il lato destro

cos (2 x) + sin^{4} (x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (2 x) + sin^{4} (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e csc^{4} (x) - cot^{4} (x) = 2 csc^{2} (x) + 1

p ro v e sin^{2} (t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 t)

p ro v e tan (x) = \frac{2 tan ( \frac{x}{2} )}{1 - tan ^{2} ( \frac{x}{2} )}

p ro v e 4 sin (x) cos (x) cos (2 x) = sin (4 x)

p ro v e 2 cot (x) sin (x) = 2 cos (x)