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beweisen csc(pi/2-θ)=sec(θ)

Lösung

beweisen

csc (\frac{π}{2} - θ) = sec (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

csc (\frac{π}{2} - θ) = sec (θ)

Manipuliere die linke Seite

csc (\frac{π}{2} - θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

csc (\frac{π}{2} - θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( \frac{π}{2} - θ )}

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= \frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}

Vereinfache

\frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )} : \frac{1}{cos ( θ )}

\frac{1}{sin ( \frac{π}{2} ) cos ( θ ) - cos ( \frac{π}{2} ) sin ( θ )}

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) - cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = cos (θ)

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) - cos (\frac{π}{2}) sin (θ)

sin (\frac{π}{2}) cos (θ) = cos (θ)

sin (\frac{π}{2}) cos (θ)

Vereinfache

sin (\frac{π}{2}) : 1

sin (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{2}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 1

= 1 \cdot cos (θ)

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ)

cos (\frac{π}{2}) sin (θ) = 0

cos (\frac{π}{2}) sin (θ)

Vereinfache

cos (\frac{π}{2}) : 0

cos (\frac{π}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{2}) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 0

= 0 \cdot sin (θ)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= cos (θ) - 0

cos (θ) - 0 = cos (θ)

= cos (θ)

= \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )}

= \frac{1}{cos ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (θ)

sec (θ)

sec (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ( a + 2 a ) + 4 sin ^{3} ( a )}{3} = sin (a)

p ro v e cos (1 \cdot π) = - 1

p ro v e cos (θ) cot (θ) = \frac{1}{sin ( θ )} - sin (θ)

p ro v e 1 - cos (θ) sin (θ) tan (θ) = cos^{2} (θ)

p ro v e \frac{1 - sin ^{2} ( A )}{1 - cos ^{2} ( A )} = cot^{2} (A)