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beweisen (cot^2(x))/(csc(x)+1)+1=csc(x)

Lösung

beweisen

\frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x ) + 1} + 1 = csc (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x ) + 1} + 1 = csc (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x ) + 1} + 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cot ^{2} ( x )}{csc ( x ) + 1} + 1

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 + cot^{2} (x) = csc^{2} (x)

cot^{2} (x) = csc^{2} (x) - 1

= \frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1} + 1

Vereinfache

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1} + 1 : csc (x)

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1} + 1

Streiche

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1} : csc (x) - 1

\frac{csc ^{2} ( x ) - 1}{csc ( x ) + 1}

Faktorisiere

csc^{2} (x) - 1 : (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

csc^{2} (x) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= csc^{2} (x) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (x) - 1^{2} = (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= (csc (x) + 1) (csc (x) - 1)

= \frac{( csc ( x ) + 1 ) ( csc ( x ) - 1 )}{csc ( x ) + 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

csc (x) + 1

= csc (x) - 1

= csc (x) - 1 + 1

- 1 + 1 = 0

= csc (x)

= csc (x)

= csc (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} - 1 = cos (θ)

p ro v e 1 - sin (y) = \frac{cos ^{2} ( y )}{1 + sin ( y )}

p ro v e 2 tan (x) = \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

p ro v e \frac{1}{1 - sin ( B )} = sec^{2} (B) + sec (B) tan (B)

p ro v e tan (6 0^{\circ}) = \frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}