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provar cot(x)=(sin(2x))/(1-cos(2x))

Solução

provar

cot (x) = \frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Verdadeiro

Passos da solução

cot (x) = \frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{sin ( 2 x )}{1 - cos ( 2 x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - cos ( 2 x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Simplificar

\frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( x ) )}

Expandir

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) : 2 sin^{2} (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x))

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Colocar os parênteses

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x )}{2 sin ^{2} ( x )}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Eliminar o fator comum:

sin (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro