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provar sin(θ)cos(φ)=(sin(θ+φ)+sin(θ-φ))/2

Solução

provar

sin (θ) cos (φ) = \frac{sin ( θ + φ ) + sin ( θ - φ )}{2}

Verdadeiro

Passos da solução

sin (θ) cos (φ) = \frac{sin ( θ + φ ) + sin ( θ - φ )}{2}

Manipular o lado esquerdo

\frac{sin ( θ + φ ) + sin ( θ - φ )}{2}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{sin ( θ + φ ) + sin ( θ - φ )}{2}

Use a identidade da transformação de soma em produto:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{θ + φ + θ - φ}{2} ) cos ( \frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} )}{2}

Simplificar

\frac{2 sin ( \frac{θ + φ + θ - φ}{2} ) cos ( \frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} )}{2} : sin (θ) cos (φ)

\frac{2 sin ( \frac{θ + φ + θ - φ}{2} ) cos ( \frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} )}{2}

θ + φ + θ - φ = 2 θ

θ + φ + θ - φ

Agrupar termos semelhantes

= θ + θ + φ - φ

Somar elementos similares:

θ + θ = 2 θ

= 2 θ + φ - φ

Somar elementos similares:

φ - φ = 0

= 2 θ

= \frac{2 cos ( \frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} ) sin ( \frac{2 θ}{2} )}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= cos (\frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2}) sin (\frac{2 θ}{2})

\frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2} = φ

\frac{θ + φ - ( θ - φ )}{2}

Expandir

θ + φ - (θ - φ) : 2 φ

θ + φ - (θ - φ)

- (θ - φ) : - θ + φ

- (θ - φ)

Colocar os parênteses

= - (θ) - (- φ)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - θ + φ

= θ + φ - θ + φ

Simplificar

θ + φ - θ + φ : 2 φ

θ + φ - θ + φ

Agrupar termos semelhantes

= θ - θ + φ + φ

Somar elementos similares:

θ - θ = 0

= φ + φ

Somar elementos similares:

φ + φ = 2 φ

= 2 φ

= 2 φ

= \frac{2 φ}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= φ

= sin (\frac{2 θ}{2}) cos (φ)

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= sin (θ) cos (φ)

= sin (θ) cos (φ)

= sin (θ) cos (φ)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin (α + β) + sin (α - β) = 2 sin (α) cos (β)

p ro v e cos (x) tan^{2} (x) + cos (x) = sec (x)

p ro v e cos^{2} (x) csc (x) - csc (x) = - sin (x)

p ro v e cot (- x) cos (- x) + sin (- x) = - csc (x)

p ro v e \frac{1 - tan ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)