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dimostrare cot^2(θ)csc^2(θ)-cot^2(θ)=cot^4(θ)

Soluzione

dimostrare

cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)

Vero

Fasi della soluzione

cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)

Manipolando il lato sinistro

cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cot^{2} (θ) csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

Usa l'identità pitagorica:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

= cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) - cot^{2} (θ)

Semplifica

cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) - cot^{2} (θ) : cot^{4} (θ)

cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) - cot^{2} (θ)

Espandi

cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ)) : cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ)

cot^{2} (θ) (1 + cot^{2} (θ))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = cot^{2} (θ), b = 1, c = cot^{2} (θ)

= cot^{2} (θ) \cdot 1 + cot^{2} (θ) cot^{2} (θ)

= 1 \cdot cot^{2} (θ) + cot^{2} (θ) cot^{2} (θ)

Semplifica

1 \cdot cot^{2} (θ) + cot^{2} (θ) cot^{2} (θ) : cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ)

1 \cdot cot^{2} (θ) + cot^{2} (θ) cot^{2} (θ)

1 \cdot cot^{2} (θ) = cot^{2} (θ)

1 \cdot cot^{2} (θ)

Moltiplicare:

1 \cdot cot^{2} (θ) = cot^{2} (θ)

= cot^{2} (θ)

cot^{2} (θ) cot^{2} (θ) = cot^{4} (θ)

cot^{2} (θ) cot^{2} (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cot^{2} (θ) cot^{2} (θ) = cot^{2 + 2} (θ)

= cot^{2 + 2} (θ)

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= cot^{4} (θ)

= cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ)

= cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ)

= cot^{2} (θ) + cot^{4} (θ) - cot^{2} (θ)

Aggiungi elementi simili:

cot^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = 0

= cot^{4} (θ)

= cot^{4} (θ)

= cot^{4} (θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin (x - π) = - sin (x)

p ro v e cos (x - \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{6} - x) = cos (x)

p ro v e coth^{2} (x) - 1 = csch^{2} (x)

p ro v e \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 1 - tan^{2} (x)

p ro v e cot (\frac{π}{2} - x) = tan (x)