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provar csc^2(x)(1-sin^2(x))=cot^2(x)

Solução

provar

csc^{2} (x) (1 - sin^{2} (x)) = cot^{2} (x)

Verdadeiro

Passos da solução

csc^{2} (x) (1 - sin^{2} (x)) = cot^{2} (x)

Manipular o lado esquerdo

cot^{2} (x)

Expresar com seno, cosseno

cot^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Simplificar

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{1}{sin ( x )} = csc (x)

= (1 - sin^{2} (x)) csc^{2} (x)

= csc^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sin (3 x) = (sin (x)) (4 cos^{2} (x) - 1)

p ro v e tan (x + \frac{π}{2}) = - cot (x)

p ro v e \frac{cos ( π - x )}{cos ( \frac{π}{2} + x )} = cot (x)

p ro v e cot (θ) + tan (θ) = 2 csc (2 θ)

p ro v e cos (x) (tan (x) - sec (- x)) = sin (x) - 1