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Popular Trigonometria >

provar sec^2(θ)csc^2(θ)=sec^2(θ)+csc^2(θ)

Solução

provar

sec^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ)

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

sec^{2} (θ) csc^{2} (θ) = sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ)

Manipular o lado esquerdo

sec^{2} (θ) + csc^{2} (θ)

Expresar com seno, cosseno

csc^{2} (θ) + sec^{2} (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + sec^{2} (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Simplificar

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Mínimo múltiplo comum de

sin^{2} (θ), cos^{2} (θ) : sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

sin^{2} (θ), cos^{2} (θ)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin^{2} (θ)

quanto em

cos^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) cos^{2} (θ)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos^{2} (θ)

\frac{1}{sin ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Para

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin^{2} (θ)

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{cos ^{2} ( θ ) ( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2} ( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{( \frac{1}{c s c ( θ )} ) ^{2} \frac{1}{s e c ^{2} ( θ )}}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{csc ( θ )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( θ )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( θ )} \cdot \frac{1}{c s c ^{2} ( θ )}}

Multiplicar

\frac{1}{sec ^{2} ( θ )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( θ )} : \frac{1}{sec ^{2} ( θ ) csc ^{2} ( θ )}

\frac{1}{sec ^{2} ( θ )} \cdot \frac{1}{csc ^{2} ( θ )}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{sec ^{2} ( θ ) csc ^{2} ( θ )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ ) csc ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( θ ) c s c ^{2} ( θ )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( θ ) csc ^{2} ( θ )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (θ) csc^{2} (θ)

sec^{2} (θ) csc^{2} (θ)

sec^{2} (θ) csc^{2} (θ)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar (1-cos^2(x))sec^2(x)=tan^2(x)

p ro v e (1 - cos^{2} (x)) sec^{2} (x) = tan^{2} (x)

provar sin(θ)cot(θ)sec(θ)=1

p ro v e sin (θ) cot (θ) sec (θ) = 1

provar cos(2θ)=(1-tan^2(θ))/(1+tan^2(θ))

p ro v e cos (2 θ) = \frac{1 - tan ^{2} ( θ )}{1 + tan ^{2} ( θ )}

provar (sin^2(a))/(1-cos(a))=1+cos(a)

p ro v e \frac{sin ^{2} ( a )}{1 - cos ( a )} = 1 + cos (a)

provar tan(8θ)-tan(8θ)tan^2(4θ)=2tan(4θ)

p ro v e tan (8 θ) - tan (8 θ) tan^{2} (4 θ) = 2 tan (4 θ)