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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(θ)=3+3sin(θ)

Lösung

4 cos^{2} (θ) = 3 + 3 sin (θ)

Lösung

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π - 0.25268 \dots + 2 πn

Grad

θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 14.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 165.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (θ) = 3 + 3 sin (θ)

Subtrahiere

3 + 3 sin (θ)

von beiden Seiten

4 cos^{2} (θ) - 3 - 3 sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 - 3 sin (θ) + 4 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 3 - 3 sin (θ) + 4 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

- 3 - 3 sin (θ) + 4 (1 - sin^{2} (θ)) : - 4 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

- 3 - 3 sin (θ) + 4 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (θ)) : 4 - 4 sin^{2} (θ)

4 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (θ)

= - 3 - 3 sin (θ) + 4 - 4 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 3 - 3 sin (θ) + 4 - 4 sin^{2} (θ) : - 4 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

- 3 - 3 sin (θ) + 4 - 4 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 3 sin (θ) - 4 sin^{2} (θ) - 3 + 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 4 = 1

= - 4 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

= - 4 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

= - 4 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

1 - 3 sin (θ) - 4 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

1 - 3 sin (θ) - 4 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

1 - 3 u - 4 u^{2} = 0

1 - 3 u - 4 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{4}

1 - 3 u - 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 4) \cdot 1 = 5

(- 3)^{2} - 4 (- 4) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Addiere die Zahlen:

9 + 16 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 4 )} : - 1

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 5}{- 2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

3 + 5 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 4 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 5}{- 2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{1}{4}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - 1, sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (θ) = - 1, sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{4} : θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{1}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.25268 \dots + 2 πn, θ = π - 0.25268 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin(x)+tan(x)=0

2 sin (x) + tan (x) = 0

arctan(x+1)+arctan(x-1)=arctan(12)

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (12)

tan^2(x)-3.31tan(x)+1.55=0

tan^{2} (x) - 3.31 tan (x) + 1.55 = 0

2sec(x)+2=6

2 sec (x) + 2 = 6

14928=(18177)/((1+0.387cos(x)))

14928 = \frac{18177}{( 1 + 0.387 cos ( x ) )}