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Beliebt Trigonometrie >

cos(x)-sin(x)=(sqrt(2))/2

Lösung

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{2}

Lösung

x = π + 1.30899 \dots + 2 πn, x = 0.26179 \dots + 2 πn

Grad

x = 25 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{2}

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) = \frac{1}{2} + sin (x)

Quadriere beide Seiten

cos^{2} (x) = (\frac{1}{2} + sin (x))^{2}

Subtrahiere

(\frac{1}{2} + sin (x))^{2}

von beiden Seiten

cos^{2} (x) - \frac{1}{2} - 2 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Vereinfache

cos^{2} (x) - \frac{1}{2} - 2 sin (x) - sin^{2} (x) : \frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1 - 2 2 sin ( x ) - 2 sin ^{2} ( x )}{2}

cos^{2} (x) - \frac{1}{2} - 2 sin (x) - sin^{2} (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x ) 2}{2}, 2 sin (x) = \frac{2 sin ( x ) 2}{2}, sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x ) 2}{2}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{2 sin ( x ) \cdot 2}{2} - \frac{sin ^{2} ( x ) \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) \cdot 2 - 1 - 2 sin ( x ) \cdot 2 - sin ^{2} ( x ) \cdot 2}{2}

\frac{2 cos ^{2} ( x ) - 1 - 2 2 sin ( x ) - 2 sin ^{2} ( x )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos^{2} (x) - 1 - 22 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + 2 cos^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 + 2 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2

Vereinfache

- 1 + 2 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2 : - 4 sin^{2} (x) - 22 sin (x) + 1

- 1 + 2 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2

= - 1 + 2 (1 - sin^{2} (x)) - 2 sin^{2} (x) - 22 sin (x)

Multipliziere aus

2 (1 - sin^{2} (x)) : 2 - 2 sin^{2} (x)

2 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 - 2 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 - 2 sin^{2} (x)

= - 1 + 2 - 2 sin^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2

Vereinfache

- 1 + 2 - 2 sin^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2 : - 4 sin^{2} (x) - 22 sin (x) + 1

- 1 + 2 - 2 sin^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2

Addiere gleiche Elemente:

- 2 sin^{2} (x) - 2 sin^{2} (x) = - 4 sin^{2} (x)

= - 1 + 2 - 4 sin^{2} (x) - 22 sin (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 2 = 1

= - 4 sin^{2} (x) - 22 sin (x) + 1

= - 4 sin^{2} (x) - 22 sin (x) + 1

= - 4 sin^{2} (x) - 22 sin (x) + 1

1 - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2 = 0

Löse mit Substitution

1 - 4 sin^{2} (x) - 2 sin (x) 2 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

1 - 4 u^{2} - 2 u 2 = 0

1 - 4 u^{2} - 2 u 2 = 0 : u = - \frac{2 + 6}{4}, u = \frac{6 - 2}{4}

1 - 4 u^{2} - 2 u 2 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} - 22 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 4 u^{2} - 22 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 4, b = - 22, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 2 ) \pm ( - 2 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 2 ) \pm ( - 2 2 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 1}{2 ( - 4 )}

(- 22)^{2} - 4 (- 4) \cdot 1 = 26

(- 22)^{2} - 4 (- 4) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 22)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

(- 22)^{2} = 2^{3}

(- 22)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 22)^{2} = (22)^{2}

= (22)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 2^{2} \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2^{2} \cdot 2 = 2^{2 + 1}

= 2^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2^{3}

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 16

= 2^{3} + 16

2^{3} = 8

= 8 + 16

Addiere die Zahlen:

8 + 16 = 24

= 24

Primfaktorzerlegung von

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Fasse zusammen

= 26

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 2 ) \pm 2 6}{2 ( - 4 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 2 ) + 2 6}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 2 ) - 2 6}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- ( - 2 2 ) + 2 6}{2 ( - 4 )} : - \frac{2 + 6}{4}

\frac{- ( - 2 2 ) + 2 6}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 2 + 2 6}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 2 + 2 6}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 2 + 2 6}{8}

Streiche

\frac{2 2 + 2 6}{8} : \frac{2 + 6}{4}

\frac{2 2 + 2 6}{8}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( 2 + 6 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 + 6}{4}

= - \frac{2 + 6}{4}

u = \frac{- ( - 2 2 ) - 2 6}{2 ( - 4 )} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 2 2 ) - 2 6}{2 ( - 4 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 2 - 2 6}{- 2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{2 2 - 2 6}{- 8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

22 - 26 = - (26 - 22)

= \frac{2 6 - 2 2}{8}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( 6 - 2 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{6 - 2}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 + 6}{4}, u = \frac{6 - 2}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{2 + 6}{4}, sin (x) = \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{2 + 6}{4}, sin (x) = \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = - \frac{2 + 6}{4} : x = arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{2 + 6}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{2 + 6}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{2 + 6}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{6 - 2}{4} : x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{6 - 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{6 - 2}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{6 - 2}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{2}

ein, um zu lösen

cos (arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) - sin (arcsin (- \frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) = \frac{2}{2}

Fasse zusammen

1.22474 \dots = 0.70710 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn :

Wahr

π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{2}

ein, um zu lösen

cos (π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) - sin (π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 π 1) = \frac{2}{2}

Fasse zusammen

0.70710 \dots = 0.70710 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{2}

ein, um zu lösen

cos (arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - sin (arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = \frac{2}{2}

Fasse zusammen

0.70710 \dots = 0.70710 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

cos (x) - sin (x) = \frac{2}{2}

ein, um zu lösen

cos (π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - sin (π - arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = \frac{2}{2}

Fasse zusammen

- 1.22474 \dots = 0.70710 \dots

\Rightarrow Falsch

x = π + arcsin (\frac{2 + 6}{4}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = π + 1.30899 \dots + 2 πn, x = 0.26179 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2/5 cos(x)=(sqrt(2))/5

\frac{2}{5} cos (x) = \frac{2}{5}

sin^2(x)=6(cos(-x)+1)

sin^{2} (x) = 6 (cos (- x) + 1)

3sin^2(x)=sin(x)+2

3 sin^{2} (x) = sin (x) + 2

sin(θ)=-7/25 ,cos(θ/2),270<θ<360

sin (θ) = - \frac{7}{25}, cos (\frac{θ}{2}), 27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}

3cos((2pit)/3)+10=11

3 cos (\frac{2 π t}{3}) + 10 = 11