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Beliebt Trigonometrie >

-4cos(2θ)+10sin(θ)+14=7

Lösung

- 4 cos (2 θ) + 10 sin (θ) + 14 = 7

Lösung

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = - 0.84806 \dots + 2 πn, θ = π + 0.84806 \dots + 2 πn

Grad

θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 48.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 228.59037 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 4 cos (2 θ) + 10 sin (θ) + 14 = 7

Subtrahiere

7

von beiden Seiten

10 sin (θ) - 4 cos (2 θ) + 7 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

7 + 10 sin (θ) - 4 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 7 + 10 sin (θ) - 4 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Vereinfache

7 + 10 sin (θ) - 4 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 8 sin^{2} (θ) + 10 sin (θ) + 3

7 + 10 sin (θ) - 4 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 4 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 4 + 8 sin^{2} (θ)

- 4 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= - 4 \cdot 1 - (- 4) \cdot 2 sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 sin^{2} (θ) : - 4 + 8 sin^{2} (θ)

- 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 \cdot 2 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= - 4 + 8 sin^{2} (θ)

= - 4 + 8 sin^{2} (θ)

= 7 + 10 sin (θ) - 4 + 8 sin^{2} (θ)

Vereinfache

7 + 10 sin (θ) - 4 + 8 sin^{2} (θ) : 8 sin^{2} (θ) + 10 sin (θ) + 3

7 + 10 sin (θ) - 4 + 8 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 10 sin (θ) + 8 sin^{2} (θ) + 7 - 4

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

7 - 4 = 3

= 8 sin^{2} (θ) + 10 sin (θ) + 3

= 8 sin^{2} (θ) + 10 sin (θ) + 3

= 8 sin^{2} (θ) + 10 sin (θ) + 3

3 + 10 sin (θ) + 8 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

3 + 10 sin (θ) + 8 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

3 + 10 u + 8 u^{2} = 0

3 + 10 u + 8 u^{2} = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = - \frac{3}{4}

3 + 10 u + 8 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

8 u^{2} + 10 u + 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

8 u^{2} + 10 u + 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 8, b = 10, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 3}{2 \cdot 8}

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 3}{2 \cdot 8}

1 0^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 2

1 0^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 8 \cdot 3 = 96

= 1 0^{2} - 96

1 0^{2} = 100

= 100 - 96

Subtrahiere die Zahlen:

100 - 96 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 2}{2 \cdot 8}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 10 + 2}{2 \cdot 8}, u_{2} = \frac{- 10 - 2}{2 \cdot 8}

u = \frac{- 10 + 2}{2 \cdot 8} : - \frac{1}{2}

\frac{- 10 + 2}{2 \cdot 8}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 10 + 2 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 8}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 10 - 2}{2 \cdot 8} : - \frac{3}{4}

\frac{- 10 - 2}{2 \cdot 8}

Subtrahiere die Zahlen:

- 10 - 2 = - 12

= \frac{- 12}{2 \cdot 8}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 12}{16}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{16}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{3}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = - \frac{3}{4}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{3}{4}

sin (θ) = - \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{3}{4}

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{3}{4} : θ = arcsin (- \frac{3}{4}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{3}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{3}{4}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{3}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{3}{4}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{3}{4}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = arcsin (- \frac{3}{4}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{3}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = - 0.84806 \dots + 2 πn, θ = π + 0.84806 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x)=1+sin(x)

cos (2 x) = 1 + sin (x)

sin(a)=-1

sin (a) = - 1

sin(θ)= 8/9

sin (θ) = \frac{8}{9}

sec(2x)+tan(2x)= 1/2

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{1}{2}

2/(tan(a)+cot(a))=2sin(a)

\frac{2}{tan ( a ) + cot ( a )} = 2 sin (a)