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Beliebt Trigonometrie >

3sin(x)-2cos(x)=1

Lösung

3 sin (x) - 2 cos (x) = 1

Lösung

x = - 2.83462 \dots + 2 πn, x = 0.86903 \dots + 2 πn

Grad

x = - 162.41204 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 49.79218 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (x) - 2 cos (x) = 1

Füge

2 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

3 sin (x) = 1 + 2 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (x))^{2} = (1 + 2 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(1 + 2 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

9 sin^{2} (x) - 1 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 1 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 1 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : - 13 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 8

- 1 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 1 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 1 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : - 13 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 8

- 1 - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 4 cos (x) - 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 1 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- 4 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 13 cos^{2} (x)

= - 4 cos (x) - 13 cos^{2} (x) - 1 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 9 = 8

= - 13 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 8

= - 13 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 8

= - 13 cos^{2} (x) - 4 cos (x) + 8

8 - 13 cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

8 - 13 cos^{2} (x) - 4 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

8 - 13 u^{2} - 4 u = 0

8 - 13 u^{2} - 4 u = 0 : u = - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}, u = \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

8 - 13 u^{2} - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 13 u^{2} - 4 u + 8 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 13 u^{2} - 4 u + 8 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 13, b = - 4, c = 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 8}{2 ( - 13 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 13 ) \cdot 8}{2 ( - 13 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 13) \cdot 8 = 123

(- 4)^{2} - 4 (- 13) \cdot 8

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 8

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 13 \cdot 8

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 13 \cdot 8 = 416

= 4^{2} + 416

4^{2} = 16

= 16 + 416

Addiere die Zahlen:

16 + 416 = 432

= 432

Primfaktorzerlegung von

432 : 2^{4} \cdot 3^{3}

432

432

ist durch

2432 = 216 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 216

216

ist durch

2216 = 108 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 108

108

ist durch

2108 = 54 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54

54

ist durch

254 = 27 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3^{3}

= 2^{4} \cdot 3^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{4} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{2} \cdot 33

Fasse zusammen

= 123

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 12 3}{2 ( - 13 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 12 3}{2 ( - 13 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 12 3}{2 ( - 13 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 12 3}{2 ( - 13 )} : - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

\frac{- ( - 4 ) + 12 3}{2 ( - 13 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 12 3}{- 2 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{4 + 12 3}{- 26}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4 + 12 3}{26}

Streiche

\frac{4 + 12 3}{26} : \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

\frac{4 + 12 3}{26}

Faktorisiere

4 + 123 : 4 (1 + 33)

4 + 123

Schreibe um

= 4 \cdot 1 + 4 \cdot 33

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 + 33)

= \frac{4 ( 1 + 3 3 )}{26}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

= - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

u = \frac{- ( - 4 ) - 12 3}{2 ( - 13 )} : \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

\frac{- ( - 4 ) - 12 3}{2 ( - 13 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 12 3}{- 2 \cdot 13}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 13 = 26

= \frac{4 - 12 3}{- 26}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

4 - 123 = - (123 - 4)

= \frac{12 3 - 4}{26}

Faktorisiere

123 - 4 : 4 (33 - 1)

123 - 4

Schreibe um

= 4 \cdot 33 - 4 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (33 - 1)

= \frac{4 ( 3 3 - 1 )}{26}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}, u = \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}, cos (x) = \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}, cos (x) = \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13} : x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13} : x = arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (x) - 2 cos (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (x) - 2 cos (x) = 1

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1) - 2 cos (arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

2.81301 \dots = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (x) - 2 cos (x) = 1

ein, um zu lösen

3 sin (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1) - 2 cos (- arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (x) - 2 cos (x) = 1

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1) - 2 cos (arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1

3 sin (x) - 2 cos (x) = 1

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1) - 2 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 3.58224 \dots = 1

\Rightarrow Falsch

x = - arccos (- \frac{2 ( 1 + 3 3 )}{13}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 3 3 - 1 )}{13}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.83462 \dots + 2 πn, x = 0.86903 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3tan^2(x)+10tan(x)+7=0

3 tan^{2} (x) + 10 tan (x) + 7 = 0

8sin(x)-8=0

8 sin (x) - 8 = 0

3cos(x)+1=sec(x)

3 cos (x) + 1 = sec (x)

40cos((2pi)/3 t)-71=-80

40 cos (\frac{2 π}{3} t) - 71 = - 80

(sin(x)+cos(x))^2= 3/2

(sin (x) + cos (x))^{2} = \frac{3}{2}