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Beliebt Trigonometrie >

cos(5θ)-cos(7θ)=0

Lösung

cos (5 θ) - cos (7 θ) = 0

Lösung

θ = \frac{πn}{3}, θ = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 6 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 6 0^{\circ} n, θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (5 θ) - cos (7 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (5 θ) - cos (7 θ)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{5 θ + 7 θ}{2}) sin (\frac{5 θ - 7 θ}{2})

Vereinfache

- 2 sin (\frac{5 θ + 7 θ}{2}) sin (\frac{5 θ - 7 θ}{2}) : 2 sin (θ) sin (6 θ)

- 2 sin (\frac{5 θ + 7 θ}{2}) sin (\frac{5 θ - 7 θ}{2})

\frac{5 θ + 7 θ}{2} = 6 θ

\frac{5 θ + 7 θ}{2}

Addiere gleiche Elemente:

5 θ + 7 θ = 12 θ

= \frac{12 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{2} = 6

= 6 θ

= - 2 sin (6 θ) sin (\frac{5 θ - 7 θ}{2})

\frac{5 θ - 7 θ}{2} = - θ

\frac{5 θ - 7 θ}{2}

Addiere gleiche Elemente:

5 θ - 7 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= - θ

= - 2 sin (6 θ) sin (- θ)

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= - 2 (- sin (θ)) sin (6 θ)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2 sin (θ) sin (6 θ)

= 2 sin (θ) sin (6 θ)

2 sin (6 θ) sin (θ) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (6 θ) = 0 or sin (θ) = 0

sin (6 θ) = 0 : θ = \frac{πn}{3}, θ = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

sin (6 θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (6 θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

6 θ = 0 + 2 πn, 6 θ = π + 2 πn

6 θ = 0 + 2 πn, 6 θ = π + 2 πn

Löse

6 θ = 0 + 2 πn : θ = \frac{πn}{3}

6 θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

6 θ = 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

6 θ = 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

\frac{6 θ}{6} = \frac{2 πn}{6}

Vereinfache

θ = \frac{πn}{3}

θ = \frac{πn}{3}

Löse

6 θ = π + 2 πn : θ = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

6 θ = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

6 θ = π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

6

\frac{6 θ}{6} = \frac{π}{6} + \frac{2 πn}{6}

Vereinfache

θ = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

θ = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

θ = \frac{πn}{3}, θ = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{πn}{3}, θ = \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x-pi/3)=(sqrt(2))/2

sin (x - \frac{π}{3}) = \frac{2}{2}

2cos(2x)-2sin(2x)=0

2 cos (2 x) - 2 sin (2 x) = 0

2cos(x/2)-sqrt(2)=0,0<= x<2pi

2 cos (\frac{x}{2}) - 2 = 0, 0 \leq x < 2 π

cos(x/4)=-(sqrt(2))/2

cos (\frac{x}{4}) = - \frac{2}{2}

tan(x)= 12/20

tan (x) = \frac{12}{20}